Co równa się (3 + i) ^ (1/3) w formie + bi?

Odpowiedź:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Wyjaśnienie:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # gdzie #alpha = arctan (1/3) #

Więc

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + ja grzech (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Od # 3 + i # jest w Q1, tym głównym katalogu głównym kostki # 3 + i # jest również w Q1.

Dwie pozostałe korzenie sześcianu # 3 + i # są wyrażalne za pomocą prymitywnego złożonego korzenia sześcianu jedności #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #