Precalculus

Aby zrobić formułę kwadratową, wystarczy wiedzieć, gdzie podłączyć. Zanim jednak przejdziemy do formuły kwadratowej, musimy znać części naszego równania. Zobaczysz, dlaczego to jest ważne za chwilę. Oto standardowe znormalizowane równanie kwadratowe, które można rozwiązać za pomocą wzoru kwadratowego: ax ^ 2 + bx + c = 0 Teraz, jak zauważyliście, mamy równanie x ^ 2 + 7x = 3, z 3 po drugiej stronie równania. Aby umieścić go w standardowej formie, odejmiemy 3 z obu stron, aby uzyskać: x ^ 2 + 7x -3 = 0 Więc teraz, gdy to się skończyło, spójrzmy na samą formułę kwadratową: (-b + - sqrt (b ^ 2 -4 Czytaj więcej »

Geometrycznie wektor jest długością w kierunku. Wektor jest (lub może być uważany za) jako ukierunkowany segment linii. Wektor (w przeciwieństwie do segmentu linii) przechodzi z jednego punktu do drugiego. Segment linii ma dwa punkty końcowe i długość. Jest to długość w określonej lokalizacji. Wektor ma tylko długość i kierunek. Ale lubimy reprezentować wektory za pomocą segmentów linii. Kiedy próbujemy reprezentować wektor za pomocą segmentu linii, musimy odróżnić jeden kierunek wzdłuż segmentu od drugiego kierunku. Częścią tego (lub jednym ze sposobów) jest rozróżnienie dwóch punktów ko Czytaj więcej »

F (1) = 0 (x-1) to czynnik Wywołaj podane wyrażenie f (x) f (x) = x ^ 3 + 5x ^ 2 + 2x-8 Niech x-1 = 0 ”„ rarr x = 1 „” subs 1 dla x w wyrażeniu W ten sposób znajdujemy resztę bez konieczności dzielenia. f (1) = (1) ^ 3 + 5 (1) ^ 2 + 2 (1) -8 = 1 + 5 + 2-8 = 0 Fakt, że odpowiedź wynosi 0, mówi nam, że reszta wynosi 0. Właściwie nie ma reszty. (x-1) jest czynnikiem wyrażenia Czytaj więcej »

(x + 1) nie jest czynnikiem, ale (x-1) jest. Biorąc pod uwagę p (x) = x ^ 3 + 8x ^ 2 + 11x-20, jeśli x + 1 jest współczynnikiem p (x), to p (x) = (x + 1) q (x), więc dla x = -1 musimy mieć p (-1) = 0 Weryfikacja na p (x) p (-1) = (- 1) ^ 3 + 8 (-1) ^ 2 + 11 (-1) -20 = -24 tak (x +1) nie jest współczynnikiem p (x), ale (x-1) jest czynnikiem, ponieważ p (1) = 1 + 8 + 11-20 = 0 Czytaj więcej »

X = 3, x ~~ -2.81 Zaczynamy od przesunięcia wszystkiego na jedną stronę, więc szukamy zer wielomianu: x ^ 6-x ^ 2-40x-600 = 0 Możemy teraz użyć twierdzenia Rational Roots do odkryć, że możliwe racjonalne zera to wszystkie współczynniki 600 (pierwszy współczynnik wynosi 1, a dzielenie przez 1 nie ma znaczenia). Daje to następującą dość dużą listę: + -1, + - 2, + - 3, + - 4, + - 5, + - 6, + - 8, + - 10, + - 12, + - 15, + - 20, + 24, + - 25, + - 30, + - 40, + - 50, + - 60, + - 75, + - 100, + - 120, + - 150, + - 200, + - 300, + -600 Na szczęście dość szybko otrzymujemy, że x = 3 to zero. Oznacza to, że x = 3 jest roz Czytaj więcej »

Jeśli a jest pierwiastkiem wielomianu P (x) (to znaczy P (a) = 0), to P (x) jest podzielne przez (x-a) Więc musimy ocenić P (3). To znaczy: 3 ^ 3- (6 * 3 ^ 2) -3 + 30 = 27-54-3 + 30 = 27-57 + 30 = 0, a więc podanie wielomianu jest podzielne przez (x-3) Czytaj więcej »

(x + 4) nie jest współczynnikiem f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2-29x-60 Zgodnie z twierdzeniem o współczynniku, jeśli (xa) jest współczynnikiem wielomianu f (x), to f (a) = 0. Tutaj musimy przetestować (x + 4), tj. (X - (- 4)). Zatem, jeśli f (-4) = 0, to (x + 4) jest współczynnikiem f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2-29x-60. f (-4) = 2 (-4) ^ 3 + 3 (-4) ^ 2-29 (-4) -60 = 2 × (-64) + 3 × 16-29 × (-4) -60 = -128 + 48 + 116-60 = 164-188 = -24 Stąd (x + 4) nie jest współczynnikiem f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2-29x-60. Czytaj więcej »

Zero jest liczbą rzeczywistą, ponieważ istnieje w prawdziwej płaszczyźnie, tj. W rzeczywistej linii liczbowej. 8 Twoja definicja liczby urojonej jest niepoprawna. Liczba urojona ma postać ai, gdzie a! = 0 Liczba zespolona ma postać a + bi, gdzie a, b w RR. Dlatego wszystkie liczby rzeczywiste są również złożone. Również liczba, w której a = 0, jest uważana za czysto wyobrażoną. Rzeczywista liczba, jak wspomniano powyżej, jest liczbą, która nie ma wyimaginowanych części. Oznacza to, że współczynnik i wynosi 0. Również iota jest przymiotnikiem oznaczającym małą ilość. Nie używamy go do oznaczani Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Korzenie bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 to x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Korzenie będą zbieżne i prawdziwe, jeśli a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 lub a = b lub a = 5b Teraz rozwiązywanie x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 mamy x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Warunkiem dla złożonych korzeni jest ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 teraz tworząc a = b lub a = 5b mamy ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Podsumowując, jeśli bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 ma zbieżne korzenie rzeczywiste, a następnie x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 będą miały złożone korzenie. Czytaj więcej »

1 / 2log (36) + 2log (3) + 1 = log (540) (zakładając log oznacza log_10) Po pierwsze, możemy użyć następującej tożsamości: alog_x (b) = log_x (b ^ a) Daje to: 1 / 2log (36) + 2 log (3) + 1 = log (36 ^ (1/2)) + log (3 ^ 2) + 1 = = log (6) + log (9) +1 Teraz możemy użyć tożsamości mnożenia : log_x (a) + log_x (b) = log_x (a * b) log (6) + log (9) + 1 = log (6 * 9) + 1 = log (54) +1 Nie jestem pewien, czy to o to pyta pytanie, ale możemy także wprowadzić 1 do logarytmu. Zakładając, że log oznacza log_10, możemy przepisać 1 w ten sposób: log (54) + 1 = log (54) + log (10) Teraz możemy użyć tej samej tożsamości mnożenia co Czytaj więcej »

3/5. Rozważamy nieskończony GP a, ar, ar ^ 2, ..., ar ^ (n-1), .... Wiemy, że dla tego GP suma jego nieskończonego nie. pojęć to s_oo = a / (1-r). :. a / (1-r) = 20 ......................... (1). Seria nieskończona, której terminami są kwadraty terminów pierwszego GP jest, a ^ 2 + a ^ 2r ^ 2 + a ^ 2r ^ 4 + ... + a ^ 2r ^ (2n-2) + .... Zauważamy, że jest to również Geom. Seria, której pierwszym terminem jest ^ 2 i wspólny współczynnik r ^ 2. Stąd suma jego nieskończonego nie. terminów podaje, S_oo = a ^ 2 / (1-r ^ 2). :. a ^ 2 / (1-r ^ 2) = 100 ......................... (2). (1) -: (2) rAr Czytaj więcej »

A = 2 i b = 5 Tutaj a (x-3) ^ 3 + b = a (x ^ 3-3 * x ^ 2 * 3 + 3 * x * 3 ^ 2-3 ^ 3) + b = ax ^ 3-9ax ^ 2 + 27ax-27a + b Porównywanie topora ^ 3-9ax ^ 2 + 27ax-27a + b i 2x ^ 3-18x ^ 2 + 54x-49, dostajemy rarrax ^ 3 = 2x ^ 3 rarra = 2 i b-27a = -49 rarrb-27 * 2 = -49 rarrb-54 = -49 rarrb = 5 So, a = 2 i b = 5. Czytaj więcej »

Dziesiąty termin to log10, który jest równy 1. Jeśli dwudziestym terminem jest log 20, a 32 termin to log32, oznacza to, że dziesiąty termin to log10. Log10 = 1. 1 to liczba wymierna. Gdy dziennik jest zapisywany bez „bazy” (indeks po logu), sugerowana jest podstawa 10. Jest to znane jako „wspólny dziennik”. Baza logów 10 z 10 równa się 1, ponieważ 10 do pierwszej mocy to jeden. Pomocną rzeczą do zapamiętania jest „odpowiedź na dziennik jest wykładnikiem”. Liczba wymierna to liczba, która może być wyrażona jako racja lub ułamek. Zwróć uwagę na słowo RATIO w RATIOnal. Jeden można wyrazić j Czytaj więcej »

Wyjaśnienie Na normalnej płaszczyźnie współrzędnych mamy współrzędne takie jak (1,2) i (3,4) i takie tam. Możemy ponownie wyrazić te współrzędne n pod względem promieni i kątów.Więc jeśli mamy punkt (a, b) oznacza to, że idziemy jednostkami w prawo, b jednostki w górę i sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) jako odległość między początkiem a punktem (a, b). Wywołam sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r Więc mamy ponownie ^ arctan (b / a) Teraz, aby zakończyć ten dowód, przypomnijmy sobie formułę. e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) Funkcja opalenizny daje mi kąt, który jest również theta. Mamy więc następuj Czytaj więcej »

Nie Okrąg ze środkiem c i promieniem r jest miejscem (zbiorem) punktów, które są odległością r od c. Tak więc, biorąc pod uwagę r i c, możemy stwierdzić, czy punkt znajduje się na okręgu, sprawdzając, czy jest to odległość r od c. Odległość między dwoma punktami (x_1, y_1) i (x_2, y_2) można obliczyć jako „odległość” = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) (Ta formuła może zostać wyprowadzona przy użyciu Twierdzenie Pitagorasa) Zatem odległość między (0, 0) i (5, -2) to sqrt ((5-0) ^ 2 + (- 2-0) ^ 2) = sqrt (25 + 4) = sqrt ( 29) Jako sqrt (29)! = 5 oznacza to, że (5, -2) nie leży na danym okręgu. Czytaj więcej »

(x - 4) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 36> Standardową formą równania koła jest: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 gdzie ( a, b) to rdzenie środka i r, promień. tutaj (a, b) = (4, -1) i r = 6 zastąp te wartości w standardowym równaniu rArr (x - 4) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 36 "to równanie" Czytaj więcej »

(x - -5) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = 9 ^ 2 Standardową formą równania okręgu jest: (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 gdzie r jest promieniem i (h, k) jest punktem środkowym. Zastępując podane wartości: (x - -5) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = 9 ^ 2 Możesz napisać - -5 jako +5, ale nie polecam tego. Czytaj więcej »

(x - 7) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 81> Standardową formą równania okręgu jest (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 gdzie (a , b) są współrzędnymi środka i r, promieniem tutaj (a, b) = (7, -3) i r = 9. Zastępowanie w równaniu standardowym daje (x - 7) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 81 Czytaj więcej »

„Najpierw szukamy zer” x ^ 5 + 3 x ^ 2 - x = x (x ^ 4 + 3 x - 1) x ^ 4 + 3 x - 1 = (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 - ax + c) => b + ca ^ 2 = 0, "" a (cb) = 3, "" bc = -1 => b + c = a ^ 2, "" cb = 3 / a => 2c = a ^ 2 + 3 / a, "" 2b = a ^ 2-3 / a => 4bc = a ^ 4 - 9 / a ^ 2 = -4 "Nazwa k = a²" "Wtedy otrzymamy następujący sześcienny równanie „k ^ 3 + 4 k - 9 = 0” Substytut k = rp: „r ^ 3 p ^ 3 + 4 rp - 9 = 0 => p ^ 3 + (4 / r ^ 2) p - 9 / r ^ 3 = 0 "Wybierz r, aby 4 / r² = 3 => r =" 2 / sqrt (3) "Wtedy dostaniemy" => p ^ 3 + Czytaj więcej »

Centrum to (-3, -3), „promień r” = sqrt5. Eqn. : x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 6y + 13 = 0 Niech podane punkty. być A (-4, -5) i B (-2, -1) Ponieważ są to końce średnicy, środkowy punkt. C segmentu AB jest środkiem okręgu. Stąd środek to C = C ((- 4-2) / 2, (-5-1) / 2) = C (-3, -3). r "jest promieniem okręgu" rArr r ^ 2 = CB ^ 2 = (- 3 + 2) ^ 2 + (- 3 + 1) ^ 2 = 5. :. r = sqrt5. Wreszcie eqn. okręgu, ze środkiem C (-3, -3) i promieniem, jest (x + 3) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = (sqrt5) ^ 2, tj. x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 6y + 13 = 0 Czytaj więcej »

(x + 3) ^ 2 + y ^ 2 = 106 Środek okręgu to środek punktów. tj. (-3,0) Promień okręgu jest połową odległości między punktami. Odległość = sqrt ((6--12) ^ 2 + (5--5) ^ 2) = sqrt (18 ^ 2 + 10 ^ 2) = sqrt (324 + 100) = sqrt (424) = 2sqrt106 Promień = sqrt (106) Równanie: (x + 3) ^ 2 + y ^ 2 = 106 Czytaj więcej »

M = -65 / 3 Zastąp x = 4, y = 3 w równaniu do znalezienia: 3 (4 ^ 2) +3 (3 ^ 2) -2 (4) + m (3) -2 = 0 To jest: 48 + 27-8 + 3m-2 = 0 To jest: 3m + 65 = 0 Więc m = -65/3 wykres {(3x ^ 2 + 3y ^ 2-2x-65 / 3y-2) ((x-4 ) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0.02) = 0 [-8,46, 11,54, -2,24, 7,76]} Czytaj więcej »

1/2 6400 = 25 * 256 = 5 ^ 2 * 2 ^ 8 => log (6400) = log (5 ^ 2) + log (2 ^ 8) = 2 + 8 log (2) log (8) = log (2 ^ 3) = 3 log (2) => (1 + log (8) + log (2)) / log (6400) = (1 + 4 log (2)) / (2 + 8 log (2)) = 1/2 Czytaj więcej »

D = 14 Dla kół w ogólności, x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 jest prawdą. Powyższe równanie zostało już rozwiązane przez wypełnienie kwadratu i znajduje się w powyższym formularzu. Dlatego, jeśli r ^ 2 = 49 Następnie, r = sqrt (49) r = 7 Ale to tylko promień.Jeśli chcesz średnicę, pomnóż promień przez dwa i przejdź całą drogę przez okrąg. d = 2 * r = 14 Czytaj więcej »

Y-6 = 4/3 (x + 12) Będziemy używać formy gradientu punktowego, ponieważ mamy już punkt, przez który przejdzie linia (-12,6), a słowo równoległe oznacza, że gradient dwóch linii musi być taki sam. aby znaleźć gradient linii równoległej, musimy znaleźć gradient linii, do której jest równoległy. Ta linia to -3y + 4x = 9, którą można uprościć na y = 4 / 3x-3. Daje nam to gradient 4/3 Teraz, aby zapisać równanie, które umieściliśmy w tej formule, y-y_1 = m (x-x_1), były (x_1, y_1) punktem, przez który przechodzą, a m jest gradientem. Czytaj więcej »

Niech wspólna różnica AP będzie liczbą całkowitą 2d. Wszelkie cztery kolejne terminy progresji mogą być reprezentowane jako a-3d, a-d, a + d i a + 3d, gdzie a jest liczbą całkowitą. Zatem suma produktów tych czterech terminów i czwartej potęgi wspólnej różnicy (2d) ^ 4 będzie = kolor (niebieski) ((a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + kolor (czerwony) ((2d) ^ 4) = kolor (niebieski) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + kolor (czerwony) (16d ^ 4) = kolor (niebieski) ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + kolor (czerwony) (16d ^ 4) = kolor (zielony) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) = kolor (zielony) ((^ 2-5d ^ 2 Czytaj więcej »

Zaczynamy od wykresu y = f (x): graph {sqrt (16-x ^ 2) [-32,6, 32,34, -11,8, 20,7]} Następnie wykonamy dwie różne transformacje do tego wykresu - rozszerzenie i tłumaczenie. 3 obok f (x) jest mnożnikiem. Mówi ci, aby rozciągnąć f (x) pionowo o współczynnik 3. Oznacza to, że każdy punkt na y = f (x) zostaje przesunięty do punktu, który jest 3 razy wyższy. Nazywa się to rozszerzeniem. Oto wykres y = 3f (x): wykres {3sqrt (16-x ^ 2) [-32,6, 32,34, -11,8, 20,7]} Drugi: -4 mówi nam, żebyśmy zrobili wykres y = 3f (x ) i przesuń każdy punkt o 4 jednostki w dół. Nazywa się to tłumaczeniem. Oto wykres Czytaj więcej »

Wykreślanie uporządkowanych par jest bardzo dobrym miejscem do rozpoczęcia nauki o wykresach kwadratowych! W tej formie, (x - 1) ^ 2, zazwyczaj ustawiam wewnętrzną część dwumianu na 0: x - 1 = 0 Po rozwiązaniu tego równania, daje ono wartość x wierzchołka. Powinna to być „środkowa” wartość listy danych wejściowych, aby mieć pewność, że symetria wykresu będzie dobrze wyświetlona. Użyłem funkcji tabelki mojego kalkulatora, aby pomóc, ale możesz samodzielnie zastąpić wartości, aby uzyskać uporządkowane pary: dla x = 0: (0-1) ^ 2 = (- 1) ^ 2 = 1 dlatego (0 , 1) dla x = -1: (-1-1) ^ 2 = (-2) ^ 2 = 4 dlatego (-1,4) dla Czytaj więcej »

X = 15 dla AP x = 9 dla GP a) Dla AP różnica między kolejnymi wyrażeniami jest równa, musimy tylko znaleźć średnią z terminów po obu stronach, (3 + 27) / 2 = 15 b) Ponieważ zarówno 3 (3 ^ 1), jak i 27 (3 ^ 3) są potęgami 3, możemy powiedzieć, że tworzą one geometryczną progresję o podstawie 3 i wspólnym stosunku 1. Dlatego brakujący termin jest po prostu 3 ^ 2 , czyli 9. Czytaj więcej »

F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 => f (x, y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 => f (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 Minimalna wartość każdego kwadratu musi być zero. Więc [f (x, y)] _ "min" = - 3 Czytaj więcej »

Jest dokładnie 36 takich pojedynczych macierzy, więc c) jest poprawną odpowiedzią. Najpierw należy rozważyć liczbę macierzy nie-pojedynczych z 3 pozycjami równymi 1 i resztą 0. Muszą mieć po jednym w każdym z wierszy i kolumn, więc jedyne możliwości to: ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) "" ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)) "" ((0, 1, 0) , (1, 0, 0), (0, 0, 1)) ((0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)) "" ((0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)) "" ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)) Dla każdego z nich 6 możliwości możemy sprawić, aby każdy z pozostałych sześciu 0 stał się 1. Wszystkie te są rozr Czytaj więcej »

Niech liczba ptaków na wyspie X będzie n. Tak więc liczba ptaków w Y będzie wynosić 14000-n. Po roku 20 procent ptaków na X migrowało do Y, a 15 procent ptaków na Y migrowało do X. Ale liczba ptaków na każdej z wysp X i Y pozostaje stała z roku na rok; Więc n * 20/100 = (14000-n) * 15/100 => 35n = 14000 * 15 => n = 14000 * 15/35 = 6000 Stąd liczba ptaków w X będzie 6000 Czytaj więcej »

Tu nie ma liczb pierwszych. Każda liczba w zestawie jest podzielna przez liczbę dodaną do silni, więc nie jest liczbą pierwszą. Przykłady 105! + 2 = 2xx3xx4xx ... xx105 + 2 = = 2xx (1 + 3xx4xx ... xx105) Jest to liczba parzysta, więc nie jest liczbą pierwszą. 105! + 101 = 2xx3xx ... xx101xx ... xx105 + 101 = (2xx3xx ... 100xx102xx103xx104xx105 + 1) xx101 Ta liczba jest podzielna przez 101, więc nie jest liczbą pierwszą. Wszystkie inne liczby z tego zestawu mogą być wyrażone w ten sposób, więc nie są one pierwsze. Czytaj więcej »

Zobacz wyjaśnienie. Przypomnij sobie, | (a + b) | le | a | + | b | ............ (gwiazda). :. | x + y + z | = | (x + 2) + (y + 3) + (z-5) |, le | (x + 2) | + | (y + 3) | + | (z-5 ) | .... [ponieważ, (gwiazda)], = 1 ........... [ponieważ, „Biorąc pod uwagę]”. tj. | (x + y + z) | le 1. Czytaj więcej »

Wielomiany otwierają się z dodatnim współczynnikiem wiodącym. Liczba zwojów jest o jeden mniejsza niż stopień. Tak więc dla a), ponieważ otwiera się i ma jeden obrót, jest to kwadrat o ujemnym współczynniku wiodącym. b) otwiera się i ma 3 tury, więc jest to wielomian 4 stopnia z dodatnim współczynnikiem wiodącym c) jest trochę trudniejszy. Ma 2 obroty, więc jest to równanie sześcienne. W tym przypadku ma on wiodący dodatni współczynnik, ponieważ rozpoczyna się na ujemnym terytorium w trzecim kwartale i kontynuuje dodatnie w pierwszym kwartale. Ujemne kubiki zaczynają się w Q2 i kontynuują Czytaj więcej »

X ^ 2 + (y-6) ^ 2 = 109 Jeśli okrąg ma środek w (0,6) i (-4, -3) jest punktem na jego obwodzie, to ma promień: koloru (biały ) („XXX”) r = sqrt ((0 - (- 3)) ^ 2+ (6 - (- 4)) ^ 2) = sqrt (109) Standardowy formularz dla okręgu z centrum (a, b) a promień r to kolor (biały) („XXX”) (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 W tym przypadku mamy kolor (biały) („XXX”) x ^ 2 + (y-6 ) ^ 2 = 109 wykres {x ^ 2 + (y-6) ^ 2 = 109 [-14,24, 14,23, -7,12, 7,11]} Czytaj więcej »

(x + 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 130> równanie okręgu w standardowej postaci to: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 gdzie (a , b) jest środkiem i r, promieniem W tym pytaniu środek jest podany, ale wymaga znalezienia r odległość od środka do punktu na okręgu to promień. oblicz r za pomocą koloru (niebieski) („wzór odległości”), który wynosi: r = sqrt ((x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2) używając (x_1, y_1) = (-3, -2) ) kolor (czarny) („i”) (x_2, y_2) = (4,7), a następnie r = sqrt (4 - (- 3) ^ 2 + (7 - (- 2) ^ 2)) = sqrt (49 +81) = równanie okręgu sqrt130 z wykorzystaniem środka = (a, b) = (-3, -2), r = sqrt Czytaj więcej »

B = ((a, b), (- a, -b)) „Nazwij elementy B w następujący sposób:” B = ((a, b), (c, d)) „Pomnóż:” ((-1 , -1), (3, 3)) * ((a, b), (c, d)) = ((-ac, -bd), (3a + 3c, 3b + 3d)) „Mamy więc następujący układ równań liniowych: "a + c = 0 b + d = 0 a + c = 0 b + d = 0 => a = -c," "b = -d" Więc "B = ((a, b ), (- a, -b)) „Tak więc wszystkie B tego kształtu spełniają. Pierwszy wiersz może mieć„ ”dowolne wartości, a drugi wiersz musi być ujemny” „pierwszego wiersza”. Czytaj więcej »

X = 4, y = 6 Aby znaleźć xiy, musimy znaleźć iloczyn punktowy dwóch wektorów. ((x, y)) ((7), (3)) = ((7x, 7y), (3x, 3y)) 7x = 28 x = 28/7 = 4 3 (4) = 13 7y = 42 y = 42/7 = 6 3 (6) = 18 Czytaj więcej »

Ja. k <+ - 1 ii. k = + - 1 iii. k> + - 1 Możemy zmienić układ, aby uzyskać: x ^ 2 + 4-k (x ^ 2-4) = 0 x ^ 2 (1-k ^ 2) + 4 + 4k = 0 a = 1-kb = 0 c = 4 + 4k Wyróżnikiem jest b ^ 2-4ac b ^ 2-4ac = 0 ^ 2-4 (1-k) (4 + 4k) = 16k ^ 2-16 16k ^ 2-16 = 0 16k ^ 2 = 16 k ^ 2 = 1 k = + - 1 Jeśli k = + - 1, wyróżnikiem będzie 0, co oznacza 1 prawdziwy pierwiastek. Jeśli k> + - 1, wyróżnik będzie> 0, co oznacza dwa rzeczywiste i wyraźne korzenie. Jeśli k <+ - 1, wyróżnik będzie <0, co oznacza brak rzeczywistych korzeni. Czytaj więcej »

(f g) (x) = 5x (g f) (x) = 5x + 16/5 Szukanie (f g) (x) oznacza znalezienie f (x), gdy składa się z g (x), lub f (g (x)). Oznacza to zastąpienie wszystkich przypadków xw f (x) = 5x + 4 g (x) = x-4/5: (f g) (x) = 5 (g (x)) + 4 = 5 (x -4/5) + 4 = 5x-4 + 4 = 5x Zatem (f g) (x) = 5x Odnalezienie (g f) (x) oznacza znalezienie g (x), gdy jest ono złożone z f (x ) lub g (f (x)). Oznacza to zastąpienie wszystkich instancji xw g (x) = x-4/5 f (x) = 5x + 4: (g f) (x) = f (x) -4 / 5 = 5x + 4- 4/5 = 5x + 20 / 5-4 / 5 = 5x + 16/5 Zatem (g f) (x) = 5x + 16/5 Czytaj więcej »

Kapelusz (PQR) = cos ^ (- 1) (27 / sqrt1235) Bądź dwoma wektorami vec (AB) i vec (AC): vec (AB) * vec (AC) = (AB) (AC) cos (kapelusz (BAC) )) = (x_ (AB) x_ (AC)) + (y_ (AB) y_ (AC)) + (z_ (AB) z_ (AC)) Mamy: P = (1; 1; 1) Q = ( -2; 2; 4) R = (3; -4; 2) dlatego vec (QP) = (x_P-x_Q; y_P-y_Q; z_P-z_Q) = (3; -1; -3) vec (QR) = (x_R-x_Q; y_R-y_Q; z_R-z_Q) = (5; -6; -2) i (QP) = sqrt ((x_ (QP)) ^ 2+ (y_ (QP)) ^ 2+ ( z_ (QP)) ^ 2) = sqrt (9 + 1 + 9) = sqrt (19) (QR) = sqrt ((x_ (QR)) ^ 2+ (y_ (QR)) ^ 2+ (z_ (QR )) ^ 2) = sqrt (25 + 36 + 4) = sqrt (65) Dlatego: vec (QP) * vec (QR) = sqrt19sqrt65cos (kapelusz (PQR)) = (3 * 5 + (- 1 Czytaj więcej »

P / q. Niech nos. bądź xiy, „gdzie, x, y” w RR ^ +. Przez to, co jest podane, x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) :( p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)). :. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, „say”. :. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) i y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)). Teraz AM A x, y jest, A = (x + y) / 2 = lambdap, a ich GM G = sqrt (xy) = sqrt [lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)}] = lambdaq. Oczywiście „pożądany stosunek” = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q. Czytaj więcej »

X = -1.84712709 ”lub„ 0.18046042 ”lub” 4/3. „Zastosuj twierdzenie racjonalnych korzeni”. „Szukamy korzeni o kształcie„ pm p / q ”, z„ p ”dzielnikiem 4 i„ q ”dzielnikiem 9”. „Znajdujemy„ x = 4/3 ”jako racjonalny korzeń.” „Więc” (3x - 4) ”jest czynnikiem, dzielimy go:„ 9 x ^ 3 + 3 x ^ 2 - 23 x + 4 = (3 x - 4) (3 x ^ 2 + 5 x - 1 ) „Rozwiązywanie pozostałego równania kwadratowego daje inne korzenie:” 3 x ^ 2 + 5 x - 1 = 0 „dysk” 5 ^ 2 + 4 * 3 = 37 => x = (-5 pm sqrt (37)) / 6 => x = -1.84712709 ”lub” 0.18046042. Czytaj więcej »

Lubię korzystać z trójkąta Pascala, aby wykonywać rozszerzenia dwumianowe! Trójkąt pomaga nam znaleźć współczynniki naszej „ekspansji”, abyśmy nie musieli wykonywać właściwości Dystrybucyjnych tyle razy! (w rzeczywistości reprezentuje ile podobnych terminów zebraliśmy). W formie (a + b) ^ 4 używamy wiersza: 1, 4, 6, 4, 1. 1 (a) ^ 4 + 4 ( a) ^ 3 (b) +6 (a) ^ 2 (b) ^ 2 + 4 (a) (b) ^ 3 + (b) ^ 4 Ale twój przykład zawiera a = 3 i b = i. Więc ... 1 (3) ^ 4 + 4 (3) ^ 3 (i) +6 (3) ^ 2 (i) ^ 2 + 4 (3) (i) ^ 3 + (i) ^ 4 = 81 + 4 (27i) + 6 (9i ^ 2) + 12 (i ^ 3) + 1 = 81 + 108i -54 -12i + 1 = 28 + 96i Czytaj więcej »

2root (3) 2. Załóżmy, że wspólny współczynnik (cr) danego GP to r i n ^ (th) termin to ostatni termin. Biorąc to pod uwagę, pierwszym terminem GP jest 2.: „GP jest„ {2,2r, 2r ^ 2,2r ^ 3, .., 2r ^ (n-4), 2r ^ (n-3) , 2r ^ (n-2), 2r ^ (n-1)}. Biorąc pod uwagę, 2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3 = 30 ... (gwiazda ^ 1), i, 2r ^ (n-4) + 2r ^ (n-3) + 2r ^ (n-2) + 2r ^ (n-1) = 960 ... (gwiazda ^ 2). Wiemy również, że ostatni termin to 512.:. r ^ (n-1) = 512 .................... (gwiazda ^ 3). Teraz (gwiazda ^ 2) rArr r ^ (n-4) (2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960, tj. (R ^ (n-1)) / r ^ 3 (2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960. :. Czytaj więcej »

-0,43717, +2 "i" +11.43717 "to trzy zera." „Najpierw zastosuj twierdzenie racjonalnych korzeni w poszukiwaniu racjonalnych„ ”korzeni. Tutaj możemy mieć tylko dzielniki równe 10 jako racjonalne korzenie:„ pm 1, pm 2, pm 5 ”lub„ pm 10 ”Więc istnieje tylko 8 możliwości czek." „Widzimy, że 2 to root, którego szukamy”. „Jeśli 2 jest korzeniem, (x-2) jest czynnikiem i dzielimy go:„ x ^ 3 - 13 x ^ 2 + 17 x + 10 = (x-2) (x ^ 2-11 x-5 ) „Zatem pozostałe dwa zera są zerami pozostałego równania kwadratowego„ ”:„ x ^ 2 - 11 x - 5 = 0 ”dysk:„ 11 ^ 2 + 4 * 5 = 141 x = (11 pm sqrt (141 )) / 2 = -0, Czytaj więcej »

Niech pierwszy termin i wspólny stosunek GP to odpowiednio a i r. Przez 1 warunek a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 = 30 ... (1) Przez drugi warunek a + ar ^ 3 = 2 * 9 .... (2) Odejmowanie (2) od (1) ar + ar ^ 2 = 12 .... (3) Dzielenie (2) przez (3) (1 + r ^ 3) / (r + r ^ 2) = 18/12 = 3/2 => ((1+ r) (1-r + r ^ 2)) / (r (1 + r)) = 3/2 => 2-2r + 2r ^ 2 = 3r => 2r ^ 2-5r + 2 = 0 => 2r ^ 2-4r-r + 2 = 0 => 2r (r-2) -1 (r-2) = 0 => (r-2) (2r-1) = 0 Więc r = 2 lub 1/2 Czytaj więcej »

U_n = n i V_n = (-1) ^ n Każda seria, która nie jest zbieżna, uważana jest za rozbieżną. U_n = n: (U_n) _ (n w NN) rozbiega się, ponieważ wzrasta, i nie dopuszcza maksimum: lim_ (n -> + oo) U_n = + oo V_n = (-1) ^ n: Ta sekwencja rozbiega się, podczas gdy sekwencja jest ograniczona: -1 <= V_n <= 1 Dlaczego? Sekwencja zbiega się, jeśli ma limit, singiel! A V_n może być rozkładany w 2 podsekwencjach: V_ (2n) = (-1) ^ (2n) = 1 i V_ (2n + 1) = (-1) ^ (2n + 1) = 1 * (-1 ) = -1 Następnie: lim_ (n -> + oo) V_ (2n) = 1 lim_ (n -> + oo) V_ (2n + 1) = -1 Sekwencja zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pod Czytaj więcej »

Użyj logarytmu naturalnego po obu stronach: ln (4 ^ (2x + 1)) = ln (1024) Użyj właściwości logarytmów, która pozwala przesunąć wykładnik na zewnątrz jako czynnik: (2x + 1) ln (4) = ln (1024) Podziel obie strony przez ln (4): 2x + 1 = ln (1024) / ln (4) Odejmij 1 z obu stron: 2x = ln (1024) / ln (4) -1 Podziel obie strony przez 2: x = ln (1024) / (2ln (4)) - 1/2 Użyj kalkulatora: x = 2 Czytaj więcej »

Biorąc pod uwagę podane równanie ze zmianą 4 (1 + y) x ^ 2-4xy- (1-y) => 4 (1 + y) x ^ 2-2 (1 + y) x + 2 (1-y) x- (1-y) => 2 (1 + y) x (2x-1) + (1-y) (2x-1) => (2x-1) (2 (1 + y) x + (1- y)) = 0 Stąd x = 1/2 Sprawdzanie 4 (1 + y) x ^ 2-4xy- (1-y) = 4 (1 + y) (1/2) ^ 2-4 (1/2) y- (1-y) = 1 + y-2y-1 + y = 0 Czytaj więcej »

Y = 3x ^ 2 -6x-7 Uprość podane równanie jako y + 10 = 3 (x ^ 2 -2x +1) Dlatego y = 3x ^ 2 -6x + 3-10 Or, y = 3x ^ 2 -6x- 7, który jest wymaganym standardowym formularzem. Czytaj więcej »

„Zobacz wyjaśnienie” „Początkowy tableau to:” ((0,1,2,0), (- 1,4,2,60), (- 2,2,4,48), (0, -8, -6,0)) „Obracanie wokół elementu (1,1) daje:„ ((0, -1,2,0), (1,1 / 4,1 / 2,15), (- 2, -1 / 2,3,18), (0,2, -2,120)) „Obracanie wokół elementu (2,2) daje:„ ((0, -1, -2,0), (1,1 / 3, - 1 / 6,12), (2, -1 / 6,1 / 3,6), (0,5 / 3,2 / 3,132)) „Ostatecznym rozwiązaniem jest:„ „Maksymalna wartość dla z wynosi 132”. „Osiągnięto to dla x = 12 iy = 6”. Czytaj więcej »

(a) 54 minuty; (b) 50 minut i (c) 3,7 km. od N zajęłoby to 46,89 minuty. (a) Jako NA = 10 km. a NP to 25 km. PA = sqrt (10 ^ 2 + 25 ^ 2) = sqrt (100 + 625) = sqrt725 = 26.926 km. i zajmie to 26.962 / 30 = 0.89873hrs. lub 0,89873xx60 = 53,924 min. powiedz 54 minuty. (b) Jeśli Thorsten po raz pierwszy pojechał do N, a następnie użył drogi P, weźmie 10/30 + 25/50 = 1/3 + 1/2 = 5/6 godzin lub 50 minut i będzie szybszy. (c) Załóżmy, że osiąga on bezpośrednio x km. od N w S, a następnie AS = sqrt (100 + x ^ 2) i SP = 25-x, a czas jest równy sqrt (100 + x ^ 2) / 30 + (25-x) / 50 Aby znaleźć ekstrema, pozwól nam r&# Czytaj więcej »

F ^ -1 (x) = 1/2 (y-7) Biorąc pod uwagę: f (x) = 2x + 7 Niech y = f (x) y = 2x + 7 Wyrażanie x w kategoriach y daje nam odwrotność x y-7 = 2x 2x = y-7 x = 1/2 (y-7) Zatem f ^ -1 (x) = 1/2 (y-7) Czytaj więcej »

Specjalny symbol i jest używany do reprezentowania pierwiastka kwadratowego z ujemnego 1, sqrt-1 Wiemy, że we wszechświecie liczb rzeczywistych nie ma czegoś takiego jak sqrt-1, ponieważ nie ma dwóch identycznych liczb, które możemy pomnożyć razem, aby uzyskać - 1 jako nasza odpowiedź. 11 = 1 i -1-1 również 1. Oczywiście 1 * -1 = -1, ale 1 i -1 nie są tą samą liczbą. Oba mają tę samą wielkość (odległość od zera), ale nie są identyczne. Tak więc, gdy mamy liczbę, która wiąże się z ujemnym pierwiastkiem kwadratowym, matematyka opracowała plan obejścia tego problemu, mówiąc, że za każdym razem, gdy na Czytaj więcej »

Główną siłą napędową jest tutaj, że nie możemy pobrać pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w systemie liczb rzeczywistych. Musimy więc znaleźć najmniejszą liczbę, jaką możemy przyjąć pierwiastek kwadratowy z tego, który wciąż znajduje się w systemie liczb rzeczywistych, który oczywiście wynosi zero. Musimy więc rozwiązać równanie 2x + 7 = 0 Oczywiście jest to x = -7/2 Więc jest to najmniejsza, legalna wartość x, która jest dolną granicą twojej domeny. Nie ma maksymalnej wartości x, więc górna granica Twojej domeny jest dodatnia. Więc D = [- 7/2, + oo) Minimalna wartość twojego zakresu będ Czytaj więcej »

3 / (x-1) + 4 / (1-2x) = (2x + 1) / ((x-1) (2x-1)) Zaczynamy od sprowadzenia dwóch terminów do wspólnego mianownika: 3 / (x -1) + 4 / (1-2x) = (3 (1-2x)) / ((x-1) (1-2x)) + (4 (x-1)) / ((x-1) ( 1-2x)) Teraz możemy po prostu dodać liczniki: (3 (1-2x) +4 (x-1)) / ((x-1) (1-2x)) = (3-6x + 4x-4) ) / ((x-1) (1-2x)) = = (- 1-2x) / ((x-1) (1-2x)) Wyrzuć minus zarówno na górze, jak i na dole, co spowoduje ich anulowanie: (- (2x + 1)) / ((x-1) (- (- 1 + 2x))) = (- (2x + 1)) / (- (x-1) (2x-1)) = = (2x + 1) / ((x-1) (2x-1)), która jest opcją C Czytaj więcej »

M = log_2 (35) -1 ~~ 4.13 Zaczynamy od odejmowania 9 z obu stron: 2 ^ (m + 1) + anuluj (9-9) = 44-9 2 ^ (m + 1) = 35 Weź log_2 na obie strony: anuluj (log_2) (anuluj (2) ^ (m + 1)) = log_2 (35) m + 1 = log_2 (35) Odejmij 1 po obu stronach: m + anuluj (1-1) = log_2 (35 ) -1 m = log_2 (35) -1 ~~ 4.13 Czytaj więcej »

(-5-3i) / (4i) = - 3/4 + 5 / 4i Chcemy liczbę zespoloną w postaci a + bi. Jest to trochę skomplikowane, ponieważ w mianowniku mamy część urojoną i nie możemy podzielić liczby rzeczywistej przez liczbę urojoną. Możemy jednak rozwiązać ten problem za pomocą małej sztuczki. Jeśli pomnożymy zarówno górę, jak i dół przez i, możemy uzyskać liczbę rzeczywistą na dole: (-5-3i) / (4i) = (i (-5-3i)) / (i * 4i) = (- 5i) +3) / (- 4) = - 3/4 + 5 / 4i Czytaj więcej »

Najpierw znajdź m. Pierwsze trzy współczynniki będą zawsze („_0 ^ m) = 1, („ _1 ^ m) = m, i („_2 ^ m) = (m (m-1)) / 2. Suma tych upraszcza się do m ^ 2/2 + m / 2 + 1. Ustaw wartość równą 46 i rozwiąż dla m. m ^ 2/2 + m / 2 + 1 = 46 m ^ 2 + m + 2 = 92 m ^ 2 + m - 90 = 0 (m + 10) (m - 9) = 0 Jedynym pozytywnym rozwiązaniem jest m = 9. Teraz, w rozszerzeniu o m = 9, terminem bez x musi być termin zawierający (x ^ 2) ^ 3 (1 / x) ^ 6 = x ^ 6 / x ^ 6 = 1 Ten termin ma współczynnik („_6 ^ 9) = 84. Rozwiązaniem jest 84. Czytaj więcej »

Z_1 / z_2 = 2 + i Musimy obliczyć z_1 / z_2 = (4-3i) / (1-2i) Naprawdę nie możemy wiele zrobić, ponieważ mianownik ma w nim dwa terminy, ale istnieje sztuczka, której możemy użyć . Jeśli pomnożymy górę i dół przez koniugat, otrzymamy całkowicie rzeczywistą liczbę na dole, co pozwoli nam obliczyć ułamek. (4-3i) / (1-2i) = ((4-3i) (1 + 2i)) / ((1-2i) (1 + 2i)) = (4 + 8i-3i + 6) / (1 +4) = = (10 + 5i) / 5 = 2 + i Więc nasza odpowiedź to 2 + i Czytaj więcej »

Po 22 013 latach lub 22 latach i 5 dniach 200000 = 50000 * (1+ (6,5 / 100)) ^ t 4 = 1,065 ^ t log4 = log 1,065 ^ t 0,60295999 = 0,02734961 * tt = 0,60295999 / 0,02734961 t = 22,013478 lat lub t = 22 lata i 5 dni Czytaj więcej »

Funkcja jest nieparzysta. Jeśli funkcja jest parzysta, spełnia warunek: f (-x) = f (x) Jeśli funkcja jest nieparzysta, spełnia warunek: f (-x) = - f (x) W naszym przypadku widzimy, że f (-x) = 5 ^ -x-5 ^ x = - (5 ^ x-5 ^ -x) = - f (x) Ponieważ f (-x) = - f (x), funkcja jest nieparzysta. Czytaj więcej »

Niech f (x) = | x -1 |. Gdyby f było równe, to f (-x) równałoby się f (x) dla wszystkich x. Gdyby f było nieparzyste, to f (-x) równałoby -f (x) dla wszystkich x. Zauważ, że dla x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | -2 | = 2 Ponieważ 0 nie jest równe 2 lub -2, f nie jest ani parzyste, ani nieparzyste. Może być zapisane jako g (x) + h (x), gdzie g jest parzyste, a h jest nieparzyste? Jeśli to prawda, to g (x) + h (x) = | x - 1 |. Wywołaj tę instrukcję 1. Zastąp x przez -x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | Ponieważ g jest parzyste, a h jest nieparzyste, mamy: g (x) - h (x) = | -x - 1 | Nazwij to stwierdzenie 2. Czytaj więcej »

(4sqrt (3) -4i) ^ 22 = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i kolor (biały) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i Dane: (4sqrt (3) -4i) ^ 22 Zauważ, że: abs (4sqrt (3) -4i) = sqrt ((4sqrt (3)) ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt (48 + 16) = sqrt (64) = 8 Tak więc 4sqrt (3) -4i można wyrazić w postaci 8 (cos theta + i sin theta) dla niektórych odpowiednich theta. 4sqrt (3) -4i = 8 (sqrt (3) / 2-1 / 2i) = 8 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) Więc: (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = (8 (cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6))) ^ 22 kolor (biały) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos (- ( 22pi) / 6) + isin (- (22pi) / 6)) kolor (bi Czytaj więcej »

X = 128/11 = 11 bar (63) Zaczynamy od podniesienia obu stron jako potęgi 6: anuluj 6 ^ (anuluj (log_6) (log_2 (5,5 x))) = 6 ^ 1 log_2 (5,5 x) = 6 Następnie podnosimy obie strony jako moce 2: anuluj2 ^ (anuluj (log_2) (5,5x)) = 2 ^ 6 5,5x = 64 (anuluj 5,5x) /cancel5.5=64/5.5 x = 128/11 = 11 .bar (63) Czytaj więcej »

Log_5 (7) ~~ 1.21 Zmiana formuły podstawowej mówi, że: log_alpha (x) = log_beta (x) / log_beta (alfa) W tym przypadku przełączę bazę z 5 na e, ponieważ log_e (lub częściej ln ) jest obecny na większości kalkulatorów. Używając formuły otrzymujemy: log_5 (7) = ln (7) / ln (5) Podłączając to do kalkulatora, otrzymujemy: log_5 (7) ~~ 1.21 Czytaj więcej »

48 Rozważanie i jako liczby urojonej, zdefiniowanej jako i ^ 2 = -1 (6i) * (- 8i) = (- 8 * 6) i ^ 2 = -48i ^ 2 = 48 Czytaj więcej »

Phi = 164 ^ "o" Oto bardziej rygorystyczny sposób, aby to zrobić (łatwiejszy sposób na dole): Jesteśmy proszeni o znalezienie kąta między wektorem wektorowym a dodatnią osią x. Wyobraźmy sobie, że istnieje wektor, który wskazuje dodatni kierunek osi X, z wielkością 1 dla uproszczeń. Ten wektor jednostkowy, który nazywamy wektorem wektorowym, byłby dwuwymiarowy, veci = 1hati + 0hatj. Produkt punktowy tych dwóch wektorów jest podany przez vecb • veci = bicosphi, gdzie b jest wielkością vecb i jest wielkością veci phi jest kątem między wektorami, co właśnie próbujemy znaleźć. Możem Czytaj więcej »

Wielkość (długość) wektora w dwóch wymiarach jest określona przez: l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2). W tym przypadku, dla wektora a, l = sqrt (3,3 ^ 2 + (- 6,4) ^ 2) = sqrt (51,85) = 7,2 jednostek. Aby znaleźć długość wektora w dwóch wymiarach, jeśli współczynnikami są aib, używamy: l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) Mogą to być wektory postaci (ax + by) lub (ai + bj) lub (a, b). Interesująca uwaga boczna: dla wektora w 3 wymiarach, np. (ax + by + cz), to l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) - wciąż pierwiastek kwadratowy, a nie korzeń sześcianu. W tym przypadku współczynniki wynoszą a = 3,3 i b = -6,4 (zanotuj znak), więc: Czytaj więcej »

| a + b | = 14.6 Podziel dwa wektory na ich składniki x i y i dodaj je do odpowiadających im x lub y, w ten sposób: 3.3x + -17.8x = -14,5x -6.4y + 5.1y = -1.3y Daje wypadkową wektor -14.5x - 1.3y Aby znaleźć wielkość tego wektora, użyj twierdzenia Pitagorasa. Możesz sobie wyobrazić składowe x i y jako wektory prostopadłe, o kącie prostym, do którego się łączą, oraz wektor a + b, nazwijmy je c, łącząc te dwa, a więc c otrzymuje: c ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 c = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) Zastępowanie wartości xiy, c = sqrt (211,9) c = 14,6, która jest wielkością lub długością wynikowego wektora. Czytaj więcej »

Odpowiedź brzmi = 1 Jeśli mamy 2 wektory vecA = 〈a, b, c〉 i vecB = 〈d, e, f product Produkt punktowy to vecA.vecB = 〈a, b, c〉. 〈D, e, f〉 = ad + be + cf Tutaj. vecu = 〈5, -9, -9〉 i vecv = 〈4 / 5,4 / 3, -1〉 Produkt punktowy to vecu.vecv = 〈5, -9, -9〉. 〈4 / 5,4 / 3, -1〉 = 5 * 4 / 5-9 * 4/3 + (- 9 * -1) = 4-12 + 9 = 1 Czytaj więcej »

A = 19/7, p = 75/7, q = 25/7 Wywołanie f_1 (x) = ax ^ 3-3x ^ 2 + 2x-3 f_2 (x) = ax ^ 2-5x + a wiemy, że f_1 (x) = q_1 (x) (x-2) + p i f_2 (x) = q_2 (x) (x-2) + q tak f_1 (2) = 8a-12 + 4-3 = p f_2 (2 ) = 4a-10 + a = q, a także p = 3q Rozwiązywanie {(8a-11 = p), (5a-10 = q), (p = 3q):} otrzymujemy a = 19/7, p = 75 / 7, q = 25/7 Czytaj więcej »

A_32 = -374 Sekwencja arytmetyczna ma postać: a_ (i + 1) = a_i + q Dlatego możemy również powiedzieć: a_ (i + 2) = a_ (i + 1) + q = a_i + q + q = a_i + 2q Możemy więc wnioskować: a_ (i + n) = a_i + nq Tutaj mamy: a_1 = -33 a_9 = -121 rarr a_ (1 + 8) = - 33 + 8q = -121 rarr 8q = -121 + 33 = -88 rarr q = (- 88) / 8 = -11 Dlatego: a_32 = a_ (1 + 31) = - 33-11 * 31 = -33-341 = -374 Czytaj więcej »

Sprawdź niejednoznaczny przypadek i, w razie potrzeby, użyj prawa sinusów, aby rozwiązać trójkąty. Oto odniesienie do Niejednoznaczny kąt A jest ostry. Oblicz wartość h: h = (c) sin (A) h = (10) sin (60 ^ @) h ~~ 8,66 h <a <c, dlatego istnieją dwa możliwe trójkąty, jeden trójkąt ma kąt C _ („ostry ") a drugi trójkąt ma kąt C _ (" rozwarty ") Użyj prawa sinusów do obliczenia kąta C _ („ ostry ”) grzech (C _ („ ostry ”)) / c = grzech (A) / grzech (C_ ( „ostry”)) = grzech (A) c / a C _ („ostry”) = sin ^ -1 (grzech (A) c / a) C _ („ostry”) = sin ^ -1 (grzech (60 ^ @) ) 10/9) C Czytaj więcej »

Możliwe zera racjonalne to: + -1 / 33, + -1 / 11, + -5 / 33, + -7 / 33, + -5 / 11, + -7 / 11, + -1 / 3, + - 1, +35 / 33, + -5 / 3, +7 / 3, +35 / 11, + -5, +7, +35 / 3, +35 Biorąc pod uwagę: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 Według racjonalnego twierdzenia o zerach, wszelkie wymierne zera f (x) są wyrażalne w postaci p / q dla liczb całkowitych p, q z dzielnikiem pa wyrażenia stałego -35 i dzielnika qa współczynnika 33 terminu wiodącego. Dzielniki -35 to: + -1, + -5, + -7, + -35 Dzielniki 33 to: + -1, + -3, + -11, + -33 Tak więc możliwymi zerami wymiernymi są: + -1, + -5, + -7, +35 + -1 / 3, + -5 / 3, + -7 / 3, + -35 Czytaj więcej »

Twierdzenie DeMoivre'a rozszerza się na wzór Eulera: e ^ (ix) = cosx + isinx Twierdzenie DeMoivre mówi, że: (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n Przykład: cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x Jednakże, i ^ 2 = -1 (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x Rozpoznawanie rzeczywistych i urojonych części x: cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) Porównywanie do cos (2x) + isin (2x) cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x grzech (2x) = 2sinxcosx S Czytaj więcej »

42x-39 = 3 (14x-13). Oznaczmy p (x) = 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1, dany wielomian (poli.). Zauważając, że dzielnik poli., Tj. (X-1) (x + 2), ma stopień 2, stopień poszukiwanej reszty (poli.) Musi być mniejszy niż 2. Dlatego przypuszczamy, że reszta to ax + b. Teraz, jeśli q (x) jest ilorazem poli., To według Twierdzenia Pozostałości mamy, p (x) = (x-1) (x + 2) q (x) + (ax + b), lub , 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1 = (x-1) (x + 2) q (x) + (ax + b) ...... (gwiazda). (gwiazda) „ma dobre” AA x w RR. Preferujemy x = 1 i x = -2! Sub.ing, x = 1 in (star), 3-5 + 4 + 1 = 0 + (a + b), lub, a + b = 3 ............... .... (gwiazda_1). Podobnie, su Czytaj więcej »

„Nie ma prawdziwego rozwiązania dla równania”. 243 = 3 * 81 => 81 ^ x = (3 * 81) ^ x + 2 => 81 ^ x = 3 ^ x * 81 ^ x + 2 => 81 ^ x (1 - 3 ^ x) = 2 = > (3 ^ x) ^ 4 (1 - 3 ^ x) = 2 "Nazwa" y = 3 ^ x ", wtedy mamy" => y ^ 4 (1 - y) = 2 => y ^ 5 - y ^ 4 + 2 = 0 "To równanie kwintyczne ma prosty racjonalny pierwiastek" y = -1. "" Więc "(y + 1)" jest czynnikiem, dzielimy go: "=> (y + 1) (y ^ 4-2 y ^ 3 + 2 y ^ 2-2 y + 2) = 0 "Okazuje się, że pozostałe równanie kwartowe nie ma prawdziwych korzeni" ". Nie mamy więc rozwiązania, Czytaj więcej »

Wynikowy wektor będzie wynosił 402,7 m / s przy standardowym kącie 165,6 °. Najpierw rozdzielisz każdy wektor (podany tutaj w standardowej postaci) na prostokątne elementy (xiy). Następnie dodasz składniki x i zsumujesz składniki y. To da ci odpowiedź, której szukasz, ale w formie prostokątnej. Na koniec przekonwertuj wynik w formę standardową. Oto jak to zrobić: Rozpoznaj elementy prostokątne A_x = 125 cos 140 ° = 125 (-0,766) = -95,76 m / s A_y = 125 sin 140 ° = 125 (0,643) = 80,35 m / s B_x = 185 cos (-150 °) = 185 (-0,866) = -160,21 m / s B_y = 185 sin (-150 °) = 185 (-0,5) = -92,50 m / s Czytaj więcej »

Konwertuj wektory na wektory jednostkowe, a następnie dodaj ... Wektor A = 13 [cos250i + sin250j] = - 4.446i-12.216j Wektor B = 27 [cos330i + sin330j] = 23.383i-13.500j Wektor A + B = 18.936i -25.716j Wielkość A + B = sqrt (18.936 ^ 2 + (- 25.716) ^ 2) = 31.936 Wektor A + B jest w kwadrancie IV. Znajdź kąt odniesienia ... Kąt odniesienia = tan ^ -1 (25,716 / 18,936) = 53,6 ^ o Kierunek A + B = 360 ^ o-53,6 ^ o = 306,4 ^ o Nadzieja, która pomogła Czytaj więcej »

Nie do końca zdefiniowane, skąd kąty pochodzą z 2 możliwych warunków. Metoda: Rozwiązana na składowe pionowe i poziome kolor (niebieski) („Warunek 1”) Niech A będzie dodatnia Niech B będzie ujemne jako kierunek przeciwny Wielkość wyniku wynosi 24,9 - 20 = 4,9 ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ kolor (niebieski) („Warunek 2”) Pozwolić na prawo być pozytywnym Pozwolić być negatywnym Pozwolić up be positive Pozwól być negatywnym Niech wypadkowa będzie koloru R (brązowy) („Rozwiąż wszystkie poziome elementy wektorowe”) R _ („poziomy”) = (24,9 razy (sqrt (3)) / 2) - (20 razy grzech (20)) kolor (biały) (xxxxxxxx) Czytaj więcej »

Odpowiedź jest = 4.12A Wektory są następujące: vecA = <0,1> A vecB = <2,0> A vecC = 3.6vecA + vecB = (3,6 xx <0,1>) A + <2,0> A = <2, 3,6> A Wielkość vecC wynosi = || vecC || = || <2, 3,6> || A = sqrt (2 ^ 2 + 3,6 ^ 2) A = 4.12A Czytaj więcej »

W ten sposób: dzięki uprzejmości Mathsisfun.com W trójkącie Pascala ekspansja podniesiona do potęgi 6 odpowiada 7 rzędowi trójkąta Pascala. (Wiersz 1 odpowiada ekspansji podniesionej do potęgi 0, która jest równa 1). Trójkąt Pascala oznacza współczynnik każdego terminu w rozszerzeniu (a + b) ^ n od lewej do prawej. W ten sposób zaczynamy rozszerzać nasz dwumian, pracując od lewej do prawej, iz każdym krokiem, który bierzemy, zmniejszamy wykładnik terminu odpowiadającego o 1 i wzrost lub wykładnik terminu odpowiadającego b o 1. (1 razy (3x ) ^ 6) + (6 razy (3x) ^ 5 razy (-5y)) + Czytaj więcej »

Zerami są x = -1, x = -2 i x = 3 f (x) = x ^ 3-7 x - 6; Poprzez kontrolę f (-1) = 0, więc (x + 1) będzie czynnikiem. x ^ 3-7 x - 6 = x ^ 3 + x ^ 2 -x ^ 2 -x -6 x -6 = x ^ 2 (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1) = (x + 1) (x ^ 2 -x -6) = (x + 1) (x ^ 2 -3 x +2 x-6) = (x + 1) {x (x -3) +2 ( x-3)}:. f (x) = (x + 1) (x -3) (x + 2):. f (x) będzie równe zero dla x = -1, x = -2 i x = 3 Stąd zerami są x = -1, x = -2 i x = 3 [Ans] Czytaj więcej »

Użyj twierdzenia racjonalnych korzeni, aby znaleźć możliwe zera wymierne. > f (x) = 2x ^ 3-15x ^ 2 + 9x + 22 Przez twierdzenie o wymiernych korzeniach jedyne możliwe zera wymierne są wyrażalne w postaci p / q dla liczb całkowitych p, q z dzielnikiem pa stałego terminu 22 i qa dzielnik współczynnika 2 terminu wiodącego.Zatem jedynymi możliwymi zerami wymiernymi są: + -1 / 2, + -1, + -2, + -11 / 2, + -11, + -22 Oceniając f (x) dla każdego z nich stwierdzamy, że żaden nie działa, więc f (x) nie ma zer wymiernych. kolor (biały) () Możemy dowiedzieć się trochę więcej bez faktycznego rozwiązania sześciennego ... Rozr Czytaj więcej »

Oto kilka z nich. Błędy w zapamiętywaniu Mianownik 2a jest poniżej sumy / różnicy. To nie jest tylko pod pierwiastkiem kwadratowym. Ignorowanie znaków Jeśli a jest dodatnie, ale c jest ujemne, to b ^ 2-4ac będzie sumą dwóch liczb dodatnich. (Zakładając, że masz współczynniki liczby rzeczywistej.) Czytaj więcej »

Kilka myśli ... Błędem numer jeden wydaje się być błędne oczekiwanie, że podstawowe twierdzenie algebry (FTOA) rzeczywiście pomoże ci znaleźć korzenie, o których mówi, że tam jesteś. FTOA mówi ci, że każdy niezmienny wielomian w jednej zmiennej o złożonych (prawdopodobnie rzeczywistych) współczynnikach ma złożone (prawdopodobnie rzeczywiste) zero. Bezpośrednim następstwem tego, często podawanym w FTOA, jest to, że wielomian w jednej zmiennej o złożonych współczynnikach stopnia n> 0 ma dokładnie n złożonej (możliwie rzeczywistej) wielości liczenia zer. FTOA nie mówi ci, jak znaleźć korzenie. Czytaj więcej »

Domena jest zazwyczaj dość prostą koncepcją i polega głównie na rozwiązywaniu równań. Jednak jedno miejsce, które odkryłem, że ludzie mają tendencję do popełniania błędów w domenie, to konieczność oceny kompozycji. Rozważmy na przykład następujący problem: f (x) = sqrt (4x + 1) g (x) = 1 / 4x Oceń f (g (x)) i g (f (x)) i określ domenę każdego kompozytu funkcjonować. f (g (x)): sqrt (4 (1 / 4x) +1) sqrt (x + 1) Domeną tego jest x -1, którą otrzymujesz ustawiając to, co znajduje się w katalogu głównym, większe lub równe zero . g (f (x)): sqrt (4x + 1) / 4 Domeną tego są wszystkie reale. Gdy Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Niektóre typowe błędy, które napotykają uczniowie pracując z zakresem, mogą być: Zapominanie o poziomych asymptotach (nie przejmuj się tym, dopóki nie przejdziesz do jednostki Rational Functions) (Często z funkcjami logarytmicznymi) Korzystanie z wykresu kalkulatora bez używania umysłu aby zinterpretować okno (na przykład kalkulatory nie pokazują wykresów kontynuujących w kierunku asymptot pionowych, ale algebraicznie, można wywnioskować, że faktycznie powinny) Zamieszanie zakresu z domeną (domena to zwykle x, podczas gdy zakres jest zwykle osią y) Nie sprawdzając algebraicznie pracy (na Czytaj więcej »

Zobacz wyjaśnienie poniżej Typowe błędy nie są w rzeczywistości zbyt częste. To zależy od konkretnego ucznia. Jednak tutaj jest kilka prawdopodobnych błędów, które uczeń może popełnić za pomocą wektorów 2-D 1.) Źle zrozumieć kierunek wektora. Przykład: vec {AB} reprezentuje wektor długości AB, który jest skierowany z punktu A do punktu B, tj. Punkt A jest ogonem, a punkt B jest głową vec {AB} 2.) Źle rozumiem kierunek wektora położenia Wektor pozycji dowolny punkt powiedzmy, że A zawsze ma punkt końcowy w punkcie początkowym O i głowicy w danym punkcie A 3.) Źle rozumie kierunek produktu wektorowego v A Czytaj więcej »

Być może najczęstszym błędem popełnianym przez wspólny dziennik jest po prostu zapomnienie, że mamy do czynienia z funkcją logarytmiczną. To samo w sobie może prowadzić do innych błędów; na przykład wierząc, że log y będący jednym większym niż log x oznacza, że y jest niewiele większe niż x. Natura każdej funkcji logarytmicznej (w tym wspólnej funkcji dziennika, która jest po prostu log_10) jest taka, że jeśli log_n y jest jeden większy niż log_n x, oznacza to, że y jest większe niż x o współczynnik n. Innym częstym błędem jest zapominanie, że funkcja nie istnieje dla wartości x równych lub Czytaj więcej »

Forma standardowa dla elipsy (jak ją uczę) wygląda następująco: (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1. (h, k) jest centrum. odległość „a” = odległość od środka w prawo / w lewo, aby znaleźć poziome punkty końcowe. odległość „b” = jak daleko w górę / w dół przesuwać się od środka, aby znaleźć pionowe punkty końcowe. Myślę, że często uczniowie błędnie sądzą, że ^ 2 to jak daleko odejść od centrum, aby zlokalizować punkty końcowe. Czasami jest to bardzo duża odległość do podróży! Myślę też, że czasami uczniowie błędnie poruszają się w górę / w dół zamiast w prawo / w lewo, stosując te formuły do Czytaj więcej »

Jeden powszechny błąd to niepoprawne znalezienie wartości r, wspólnego mnożnika. Na przykład, dla sekwencji geometrycznej 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, ... mnożnik r = 2. Czasem frakcje dezorientują uczniów. Trudniejszy problem to ten: -1/4, 3/16, -9/64, 27/56, .... Może nie być oczywiste, jaki jest mnożnik, a rozwiązaniem jest znalezienie w sekwencji stosunku dwóch kolejnych terminów, jak pokazano tutaj: (drugi termin) / (pierwszy termin), który wynosi (3/16) / (- 1 / 4) = 3/16 * -4 / 1 = -3 / 4. Zatem wspólny mnożnik wynosi r = -3/4. Możesz również sprawdzić, czy jest to zgodne z prawdą, mnożąc Czytaj więcej »

Uczniowie popełniają błędy w logarytmach, ponieważ pracują z wykładnikami w odwrotnej kolejności! To wyzwanie dla naszych mózgów, ponieważ często nie jesteśmy tak pewni naszych mocy liczb i właściwości wykładników ... Teraz moce 10 są dla nas „łatwe”, prawda? Wystarczy policzyć liczbę zer na prawo od „1” dla dodatnich wykładników i przesunąć dziesiętny w lewo dla ujemnych wykładników .... Dlatego uczeń, który zna moc 10, powinien być w stanie wykonywać logarytmy w bazie 10 równie dobrze: log (10) = 1, który jest taki sam jak log_10 (10) = 1 log (100) = 2 log (1000) = 3 log (10000) = Czytaj więcej »

Kilka myśli ... To więcej domysłów niż opinii świadomej, ale podejrzewam, że główny błąd polega na tym, że nie sprawdzamy zewnętrznych rozwiązań w następujących dwóch przypadkach: Podczas rozwiązywania pierwotnego problemu wymagało to wyrównania go gdzieś wzdłuż linia. Przy rozwiązywaniu równania wymiernego i pomnożeniu obu stron przez jakiś czynnik (który jest równy zero dla jednego z korzeni wyprowadzonego równania). kolor (biały) () Przykład 1 - Kwadrat Dany: sqrt (x + 3) = x-3 Kwadrat po obu stronach, aby uzyskać: x + 3 = x ^ 2-6x + 9 Odejmij x + 3 z obu stron, aby uzyskać: 0 = x Czytaj więcej »

Typowe błędy podziału syntetycznego: (założyłem, że dzielnik jest dwumianowy; ponieważ jest to zdecydowanie najczęstsza sytuacja). Pomijanie współczynników o wartości 0 Podane wyrażenie 12x ^ 5-19x ^ 3 + 100 Ważne jest, aby traktować to jako 12x ^ 5 kolor (czerwony) (+ 0x ^ 4) -19x ^ 3 kolor (czerwony) (+ 0x ^ 2) kolor ( czerwony) (+ 0x) +100 Więc górny wiersz wygląda następująco: kolor (biały) („XXX”) 12 +0 -19 +0 +0 +100 Nie neguje stałego terminu dzielnika. Na przykład, jeśli dzielnik jest (x + 3), to mnożnik musi być (-3) Nie dzieląc przez lub dzieląc w niewłaściwym czasie przez współczynnik wiodący Czytaj więcej »

Wektor własny jest wektorem, który przekształca się przez operator liniowy w innym w tym samym kierunku. Wartość własna (numer własny nie jest używany) jest współczynnikiem proporcjonalności między oryginalnym wektorem własnym a transformowanym. Załóżmy, że A jest transformacją liniową, którą możemy zdefiniować w danej podprzestrzeni. Mówimy, że vec v jest wektorem własnym wspomnianej transformacji liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skalar lambda taki jak: A cdot vec v = lambda cdot vec v Do tej skalarnej lambdy nazwiemy ją wartością własną związaną z wektorem własnym vec v. Czytaj więcej »

Wykres kwadratów tej formy jest zawsze parabolą. Jest kilka rzeczy, które możemy powiedzieć z twojego równania: 1) współczynnik wiodący wynosi 1, co jest dodatnie, więc twoja parabola otworzy się DO GÓRY. 2) odkąd parabola się otwiera, „końcowe zachowanie” kończy się. 3) odkąd parabola się otworzy, wykres będzie miał minimum w swoim wierzchołku. Teraz znajdźmy wierzchołek. Jest na to kilka sposobów, w tym użycie formuły -b / (2a) dla wartości x. (- (- 4)) / (2 * 1) = 4/2 = 2 Zastąp x = 2 i znajdź wartość y: (2) ^ 2-4 (2) = 4 - 8 = -4 Wierzchołek jest znaleziono w (2, -4). Oto wykres: Sugerował Czytaj więcej »