Czwarta potęga wspólnej różnicy progresji arytmetycznej jest z wpisami całkowitymi dodawanymi do produktu z czterech kolejnych po sobie. Udowodnij, że wynikowa suma jest kwadratem liczby całkowitej?

Niech wspólna różnica AP będzie liczbą całkowitą # 2d #.

Jakiekolwiek cztery kolejne terminy progresji mogą być reprezentowane jako # a-3d, a-d, a + d i a + 3d #, gdzie #za# jest liczbą całkowitą.

Zatem suma produktów tych czterech terminów i czwarta moc wspólnej różnicy # (2d) ^ 4 # będzie

# = kolor (niebieski) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + kolor (czerwony) ((2d) ^ 4) #

# = kolor (niebieski) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + kolor (czerwony) (16d ^ 4) #

# = kolor (niebieski) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + kolor (czerwony) (16 d ^ 4) #

# = kolor (zielony) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = kolor (zielony) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, który jest idealnym kwadratem.

Wspólny stosunek progresji ggeometrycznej to r pierwszy okres progresji to (r ^ 2-3r + 2), a suma nieskończoności to S Pokaż, że S = 2-r (mam) Znajdź zbiór możliwych wartości, które S może to zrobić?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r Ponieważ | r | <1 otrzymujemy 1 <S <3 # Mamy S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k Ogólna suma nieskończonego szeregu geometrycznego to sum_ {k = 0} ^ {infty} ar ^ k = a / {1-r} W naszym przypadku S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2 )} / {1-r} = 2-r Serie geometryczne zbiegają się tylko, gdy | r | <1, więc otrzymujemy 1 <S <3 #

„Lena ma 2 kolejne liczby całkowite.Zauważa, że ich suma jest równa różnicy między ich kwadratami. Lena wybiera kolejne 2 kolejne liczby całkowite i zauważa to samo. Udowodnij algebraicznie, że jest to prawdą dla 2 kolejnych liczb całkowitych?

Prosimy odnieść się do Wyjaśnienia. Przypomnijmy, że kolejne liczby całkowite różnią się o 1. Stąd, jeśli m jest jedną liczbą całkowitą, to kolejna liczba całkowita musi być n + 1. Suma tych dwóch liczb całkowitych wynosi n + (n + 1) = 2n + 1. Różnica między ich kwadratami to (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, zależnie od potrzeb! Poczuj radość matematyki!

Jakie są trzy liczby w progresji arytmetycznej, których suma wynosi 6, a produkt -64?

Rozważmy 3 liczby w AP, które mają być, x-d, x, x + d, gdzie d jest wspólną różnicą. Zgodnie z pytaniem ich suma wynosi 6 => (x-d) + (x) + (x + d) = 6 => 3x = 6 => x = 2, a ich produkt ma wartość -64; => (xd) (x) (x + d) = - 64 x (x ^ 2-d ^ 2) = -64 2 (4-d ^ 2) = - 64 4-d ^ 2 = -32 d ^ 2 = 4 + 32 d = sqrt36 d = 6 Tak więc trzy liczby to, xd, x, x + d => (2-6), (2), (2 + 6) => - 4, 2,8 kolor (fioletowy) (- Sahar)