Odpowiedź:
Zbiega się absolutnie.
Wyjaśnienie:
Użyj testu dla zbieżności absolutnej. Jeśli weźmiemy bezwzględną wartość warunków, otrzymamy serię
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Jest to seria geometryczna wspólnego stosunku #1/4#. W ten sposób zbiega się. Od kiedy oboje # | a_n | # zbiega się #na# zbiega się absolutnie.
Mam nadzieję, że to pomoże!
Odpowiedź:
# „To prosta seria geometryczna, która zbiega się całkowicie z„ # # "suma = 16/5 = 3,2."
Wyjaśnienie:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ”, pod warunkiem że | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# „Take” a = -1/4 ”, wtedy mamy„ #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# „Teraz nasza seria jest cztery razy większa niż pierwsza.
# „Więc nasza seria” #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Odpowiedź:
Seria geometryczna zbiega się absolutnie z
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Wyjaśnienie:
Ta seria jest zdecydowanie serią na przemian; jednak wygląda też geometrycznie.
Jeśli możemy określić wspólny współczynnik dzielony przez wszystkie warunki, seria będzie w formie
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Gdzie #za# jest pierwszym terminem i # r # to wspólny stosunek.
Musimy znaleźć sumowanie w powyższym formacie.
Podziel każdy termin na termin przed nim, aby określić wspólny stosunek # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Tak więc ta seria jest geometryczna, ze wspólnym współczynnikiem # r = -1 / 4 #i pierwszy termin # a = 4. #
Możemy napisać serię jako
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Przypomnij sobie, że seria geometryczna #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # zbiega się do # a / (1-r) # Jeśli # | r | <1 #. Jeśli więc zbiegnie się, możemy również znaleźć jego dokładną wartość.
Tutaj, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, więc seria zbiega się:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Teraz ustalmy, czy jest zbieżny absolutnie.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Usuń zmienny negatywny termin:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Weź wartość bezwzględną, powodując zanikanie zmiennego terminu ujemnego:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
A zatem, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Widzimy # | r | = 1/4 <1 #, więc nadal mamy konwergencję:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Seria zbiega się całkowicie z
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
