Jakie są asymptoty i usuwalne nieciągłości f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Odpowiedź:

#f (x) # ma poziomą asymptotę # y = 0 # i asymptota pionowa # x = 0 #

Wyjaśnienie:

Dany:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Domena licznika #sqrt (x) # jest # 0, oo) #

• Domena mianownika # e ^ x - 1 # jest # (- oo, oo) #

• Mianownik wynosi zero, gdy # e ^ x = 1 #, które dla prawdziwych wartości # x # występuje tylko wtedy, gdy # x = 0 #

Stąd domena #f (x) # jest # (0, oo) #

Korzystanie z rozszerzenia serii # e ^ x #, mamy:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (biały) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (biały) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (biały) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Więc:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (biały) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (biały) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (biały) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

i:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Więc #f (x) # ma pionową asymptotę # x = 0 # i pozioma asymptota # y = 0 #

graph {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}