Wspólny stosunek progresji ggeometrycznej to r pierwszy okres progresji to (r ^ 2-3r + 2), a suma nieskończoności to S Pokaż, że S = 2-r (mam) Znajdź zbiór możliwych wartości, które S może to zrobić?

Odpowiedź:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Od # | r | <1 # dostajemy # 1 <S <3 #

Wyjaśnienie:

Mamy

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

Ogólna suma nieskończonej serii geometrycznej to

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

W naszym przypadku, #S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Serie geometryczne zbiegają się tylko, gdy # | r | <1 #, więc dostajemy

# 1 <S <3 #

Odpowiedź:

#color (niebieski) (1 <S <3) #

Wyjaśnienie:

# ar ^ (n-1) #

Gdzie # bbr # to wspólny stosunek, # bba # jest pierwszym terminem i # bbn # jest n-tym terminem.

Mówi się, że wspólny stosunek jest # r #

Pierwszy termin to # (r ^ 2-3r + 2) #

Suma serii geometrycznej jest podana jako:

#a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Dla sumy do nieskończoności upraszcza to:

# a / (1-r) #

Powiedziano nam, że ta suma to S.

Zastępując nasze wartości a i r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Współczynnik licznika:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Pomnóż licznik i mianownik przez #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Anulowanie:

# (anuluj ((r-1)) (2-r)) / (anuluj ((1-r))) = S #

# S = 2-r #

Aby znaleźć możliwe wartości, pamiętamy, że seria geometryczna ma sumę tylko do nieskończoności, jeśli # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

to znaczy

# 1 <S <3 #