Stosunek dwóch dodatnich liczb rzeczywistych to p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2), a następnie znajdź ich stosunek AM i GM?

Odpowiedź:

# p / q #.

Wyjaśnienie:

Niech nos. być #x i y, „gdzie, x, y” w RR ^ + #.

Przez to, co jest dane #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, „say” #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) i y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Teraz RANO #ZA# z # x, y # jest, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, i ich

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Wyraźnie, # „pożądany współczynnik” = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Odpowiedź:

# p / q #

Wyjaśnienie:

Użyję tej samej notacji, co w tej odpowiedzi. W rzeczywistości nie ma prawdziwej konieczności tego rozwiązania (ponieważ problem został już całkiem dobrze rozwiązany) - z wyjątkiem tego, że ilustruje użycie techniki, którą bardzo kocham!

Zgodnie z problemem

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Używamy componendo i dividendo (jest to ulubiona technika, o której wspomniałem powyżej)

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) oznacza #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) oznacza #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) oznacza #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 oznacza #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• który jest wymaganym stosunkiem AM: GM.