Jakie są typowe błędy popełniane przez uczniów przy użyciu elips w standardowej formie?

Standardowy formularz dla elipsy (jak go uczę) wygląda tak: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) jest centrum.

odległość „a” = odległość od środka w prawo / w lewo, aby znaleźć poziome punkty końcowe.

odległość „b” = jak daleko w górę / w dół przesuwać się od środka, aby znaleźć pionowe punkty końcowe.

Myślę, że często uczniowie błędnie tak myślą # a ^ 2 # to, jak daleko odejść od centrum, aby zlokalizować punkty końcowe. Czasami jest to bardzo duża odległość do podróży!

Myślę też, że czasami uczniowie błędnie poruszają się w górę / w dół zamiast w prawo / w lewo, stosując te formuły do swoich problemów.

Oto przykład do omówienia:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Środek to (1, -4). Powinieneś poruszać się w prawo i w lewo „a” = 2 jednostki, aby uzyskać poziome punkty końcowe w (3, -4) i (-1, -4). (patrz zdjęcie)

Powinieneś poruszać się w górę iw dół „b” = 3 jednostki, aby uzyskać pionowe punkty końcowe w (1, -1) i (1, -7). (patrz zdjęcie)

Ponieważ a <b, główna oś będzie w kierunku pionowym.

Jeśli a> b, główna oś będzie poruszać się w kierunku poziomym!

Jeśli potrzebujesz znaleźć inne informacje o elipsach, zadaj kolejne pytanie!

(Zamieszanie co do tego, czy #za# i #b# reprezentują główne / mniejsze promienie lub # x #- & # y #-radii)

Przypomnij sobie, że standardowy formularz dla elipsy wyśrodkowany na początku jest

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Jednak niektóre z nich będą już miały problemy z powyższą formułą. Niektóre szkoły myślenia to utrzymują #za# powinien być zawsze większy niż #b# i tym samym reprezentują długość głównego promienia (nawet jeśli główny promień leży w kierunku pionowym, umożliwiając tym samym # y ^ 2 / a ^ 2 # w takim przypadku), podczas gdy inni utrzymują, że zawsze powinien reprezentować # x #-radius (nawet jeśli # x #-radius to promień mniejszy).

To samo odnosi się do #b#, ale w odwrotnej kolejności. (tzn. niektórzy w to wierzą #b# zawsze powinien być promieniem mniejszym, a inni uważają, że zawsze powinien być # y #-promień).

Upewnij się, że znasz metodę preferowaną przez swojego instruktora (lub program, którego używasz). Jeśli nie ma silnych preferencji, po prostu zdecyduj sam, ale bądź konsekwentny w swojej decyzji. Zmiana umysłu w połowie zadania sprawi, że sprawy staną się niejasne i zmienisz zdanie w połowie jednego problem po prostu doprowadzi do błędów.

(Pomieszanie promienia / osi)

Większość błędów w elipsach wydaje się wynikać z tego zamieszania co do tego, który promień jest większy, a który niewielki. Inne możliwe błędy mogą powstać, jeśli pomieszamy główny promień z główną osią (lub mniejszym promieniem z mniejszą osią). Główna (lub mniejsza) oś jest równa dwukrotności głównego (lub mniejszego) promienia, ponieważ jest to zasadniczo główna (lub mniejsza) średnica. W zależności od kroku, w którym występuje zamieszanie, może to prowadzić do poważnych błędów w skali elipsy.

(Pomieszanie kwadratu promień / promień)

Podobny błąd występuje, gdy uczniowie zapominają o mianownikach (# a ^ 2, b ^ 2 #) to kwadraty promieni, a nie same promienie. Często zdarza się, że uczeń ma problem, taki jak # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # narysuj elipsę za pomocą # x #-radius 9 i # y #-radius 4. Ponadto może to nastąpić w połączeniu z powyższym błędem (myląc promień średnicy), prowadząc do wyników, takich jak uczeń z powyższym równaniem rysującym elipsę o dużej średnicy 9 (a zatem o dużym promieniu 4,5), zamiast prawidłowej średnicy głównej 6 (i dużego promienia 3).

(Pomieszanie hiperboli i elipsy) OSTRZEŻENIE: Odpowiedź jest dość długa

Inny stosunkowo częsty błąd pojawia się, gdy ktoś źle zapamięta formułę elipsy. W szczególności, najczęstszy z tych błędów wydaje się występować, gdy myli się wzór na elipsy z tym dla hiperboli (które, przypominając, jest # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # lub # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # dla tych skoncentrowanych na początku, ponownie podlega konwencjom oznakowania osi wymienionym powyżej). W tym celu należy pamiętać o definicji elips i hiperboli jako przekrojów stożkowych.

W szczególności należy pamiętać, że elipsa jest miejscem punktów powiązanych z dwoma ogniskami # f_1 i f_2 # znajduje się wzdłuż głównej osi, tak że dla dowolnego punktu # p # na miejscu, odległość od # p # do # f_1 # (oznaczone # d_1 #) plus odległość od # p # do # f_2 # (oznaczone # d_2 #) równa się dwukrotności głównego promienia (tj. jeśli #za# jest głównym promieniem, # d_1 + d_2 = 2a #). Dalej, odległość od centrum do jednego z tych ognisk (czasami nazywanych półogniskowa separacja lub mimośrodowość liniowa), zakładając #za# jest głównym promieniem, jest równy #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Natomiast hiperbola jest miejscem punktów powiązanych z dwoma ogniskami w taki sposób, że w pewnym punkcie # p # na miejscu wartość bezwzględna różnica pomiędzy odległością punktu do pierwszego ogniska i odległością punktu do drugiego ogniska jest równa dwukrotności głównego promienia (tj. #za# duży promień, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Dalej, odległość od środka hiperboli do któregokolwiek z tych ognisk (ponownie czasami nazywanych ekscentrycznością liniową i nadal przyjmujących #za# duży promień) jest równy #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

W odniesieniu do definicji sekcji stożkowych, ogólny ekscentryczność #mi# sekcji określa, czy jest to okrąg (# e = 0 #), elipsa (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), lub hiperbola (#e> 1 #). Dla elips i hiperboli mimośród można obliczyć jako stosunek mimośrodowości liniowej do długości promienia głównego; tak więc dla elipsy będzie #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (a więc koniecznie mniej niż 1), a dla hiperboli będzie #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (a zatem koniecznie większy niż 1).