Thorsten geolog jest na pustyni, 10 km od długiej, prostej drogi. Na drodze jeep Thorstena może osiągać prędkość 50 km / h, ale w piaskach pustynnych potrafi pokonać tylko 30 km / h. Ile minut zajmie Thorstenowi przejechanie przez pustynię? (Patrz szczegóły).

Odpowiedź:

(za) #54# minuty; (b) #50# minuty i (c) #3.7# km. z N zajęłoby to #46.89# minuty.

Wyjaśnienie:

(a) Tak # NA = 10 km. # i # NP # jest # 25 km.

# PA = sqrt (10 ^ 2 + 25 ^ 2) = sqrt (100 + 625) = sqrt725 = 26.926 km. #

i zajmie to # 26.962 / 30 = 0.89873 godz.

lub # 0.89873xx60 = 53.924min. # mówić #54# minuty.

(b) Jeśli Thorsten najpierw pojechał do N, a następnie użył drogi P, on weźmie #10/30+25/50=1/3+1/2=5/6# godziny lub #50# minuty

i będzie szybszy.

(c) Załóżmy, że dociera bezpośrednio # x # km. z # N # w S, następnie # AS = sqrt (100 + x ^ 2) # i # SP = 25-x # a czas potrzebny

#sqrt (100 + x ^ 2) / 30 + (25-x) / 50 #

Aby znaleźć ekstrema, rozróżnijmy w.r.t. # x # i ustaw go na zero. Dostajemy

# 1 / 30xx1 / (2sqrt (100 + x ^ 2)) xx2x-1/50 = 0 #

lub # x / (30sqrt (100 + x ^ 2)) = 1/50 #

lub #sqrt (100 + x ^ 2) = (5x) / 3 # i kwadratura

# 100 + x ^ 2 = 25 / 3x ^ 2 #

to znaczy # 22 / 3x ^ 2 = 100 # lub # x ^ 2 = 300/22 # i

# x = sqrt (300/22) = 3,7 # km.

i czas będzie #sqrt (100 + 3,7 ^ 2) / 30 + (25-3,7) / 50 #

= # 0.78142 godz. = 46.89 # minuty.