Niech f (x) = x-1. 1) Sprawdź, czy f (x) nie jest ani równe, ani nieparzyste. 2) Czy f (x) można zapisać jako sumę funkcji parzystej i funkcji nieparzystej? a) Jeśli tak, pokaż rozwiązanie. Czy jest więcej rozwiązań? b) Jeśli nie, udowodnij, że jest to niemożliwe.

Pozwolić #f (x) = | x -1 | #.

Jeśli byłby równy, to #f (-x) # byłoby równe #f (x) # dla wszystkich x.

Jeśli więc f byłby dziwny #f (-x) # byłoby równe # -f (x) # dla wszystkich x.

Obserwuj, że dla x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Ponieważ 0 nie jest równe 2 lub -2, f nie jest ani parzyste, ani nieparzyste.

Może być napisane jako #g (x) + h (x) #, gdzie g jest parzyste, a h jest dziwne?

Gdyby to było prawdą #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Wywołaj to oświadczenie 1.

Zastąp x przez -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Ponieważ g jest parzyste, a h jest nieparzyste, mamy:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Zadzwoń na to oświadczenie 2.

Łącząc stwierdzenia 1 i 2, widzimy to

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

DODAJ TE, aby uzyskać

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

To rzeczywiście jest, ponieważ #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Z oświadczenia 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

To jest rzeczywiście dziwne, ponieważ

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.