Jakie jest twierdzenie DeMoivre'a? + Przykład

Twierdzenie DeMoivre'a rozszerza się na wzór Eulera:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Twierdzenie DeMoivre mówi, że:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Przykład:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Jednak, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Rozwiązywanie rzeczywistych i wymyślonych części # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

W porównaniu do #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Są to formuły podwójnego kąta dla #sałata# i #grzech#

To pozwala nam się rozwijać #cos (nx) # lub #sin (nx) # pod względem mocy # sinx # i # cosx #

Twierdzenie DeMoivre'a można przyjąć dalej:

Dany # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Więc jeśli chciałbyś to wyrazić # sin ^ nx # pod względem wielu kątów # sinx # i # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Rozwiń i po prostu wprowadź wartości dla # z ^ n + z ^ (- n) # i # z ^ n-z ^ (- n) # tam gdzie konieczne.

Jednak jeśli to dotyczyło # cos ^ nx #, wtedy zrobiłbyś # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # i wykonaj podobne kroki.