Wiadomo, że równanie bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 ma jeden prawdziwy korzeń. Udowodnij, że równanie x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Korzenie dla # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # są

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Korzenie będą zbieżne i prawdziwe, jeśli

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

lub

# a = b # lub #a = 5b #

Teraz rozwiązywanie

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # mamy

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Warunkiem skomplikowanych korzeni jest

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

teraz robię #a = b # lub #a = 5b # mamy

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Podsumowując, jeśli # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # ma zatem korzenie prawdziwe # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # będzie miał złożone korzenie.

Dano nam, że równanie:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

ma jeden prawdziwy korzeń, dlatego wyróżnikiem tego równania jest zero:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #lub # a = 5b #

Staramy się pokazać równanie:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nie ma prawdziwych korzeni. Wymagałoby to negatywnej dyskryminacji. Wyróżnikiem tego równania jest:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

A teraz rozważmy dwa możliwe przypadki, które spełniają pierwsze równanie:

Przypadek 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 0

Przypadek 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 0

Stąd warunki pierwszego równania są takie, że drugie równanie zawsze ma negatywny dyskryminator, a zatem ma złożone korzenie (tj. Brak rzeczywistych korzeni), QED