Udowodnij sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Odpowiedź:

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Na normalnej płaszczyźnie współrzędnych mamy współrzędne takie jak (1,2) i (3,4) i takie tam. Możemy ponownie wyrazić te współrzędne n pod względem promieni i kątów. Więc jeśli mamy punkt (a, b) oznacza to, że idziemy jednostkami w prawo, b jednostki w górę i #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # jako odległość między początkiem a punktem (a, b). zadzwonię #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Więc mamy # re ^ arctan (b / a) #

Teraz, aby zakończyć ten dowód, przypomnijmy sobie wzór.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Funkcja opalenizny daje mi kąt, który jest również theta.

Mamy więc następujące równanie:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Teraz narysuj trójkąt prawy.

Arctan z (b / a) mówi mi, że b jest stroną przeciwną, a a jest stroną sąsiadującą. Jeśli więc chcę cos arctan (b / a), używamy twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć przeciwprostokątną. Przeciwprostokątna jest #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Więc cos (arctan (b / a)) = przyległy do hypotenuse = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Najlepsze jest to, że ta sama zasada dotyczy sinusa. Więc grzech (arctan (b / a)) = przeciwny przez hypotenuse = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Więc teraz możemy ponownie wyrazić naszą odpowiedź w ten sposób: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Ale pamiętaj #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # więc teraz mamy: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Anuluj r, a pozostanie Ci następujące: # a + bi #

W związku z tym, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #