Precalculus

Wiele rzeczy w różnych dziedzinach matematyki. Oto kilka przykładów: Prawdopodobieństwo (Kombinatoryka) Jeśli rzuca się uczciwą monetą 10 razy, jakie jest prawdopodobieństwo dokładnie 6 głów? Odpowiedź: (10!) / (6! 4! 2 ^ 10) Seria dla grzechu, cos i funkcji wykładniczej sin (x) = x - x ^ 3 / (3!) + X ^ 5 / (5!) -X ^ 7 / (7!) + ... cos (x) = 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + ... Seria Taylora f (x) = f (a) / (0 !) + (f '(a)) / (1!) (xa) + (f' '(a)) / (2!) (xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / (3 !) (xa) ^ 3 + ... Rozsz Czytaj więcej »

Zobacz wyjaśnienie poniżej. Limit „w nieskończoności” funkcji to: liczba, która f (x) (lub y) zbliża się do wartości, gdy x wzrasta bez ograniczeń. Limit w nieskończoności jest granicą, ponieważ zmienna niezależna wzrasta bez ograniczeń. Definicja jest następująca: lim_ (xrarroo) f (x) = L wtedy i tylko wtedy, gdy: dla dowolnego epsilon, który jest dodatni, istnieje liczba m taka, że: jeśli x> M, to abs (f (x) -L) < epsilon. Na przykład, gdy x wzrasta bez ograniczenia, 1 / x staje się coraz bliżej 0. Przykład 2: gdy x wzrasta bez ograniczenia, 7 / x zbliża się do 0 Jako xrarroo (jako x wzrasta bez ogranicze Czytaj więcej »

Wskazuje na jakąś funkcję, w której występuje lokalna maksymalna lub minimalna wartość. Dla funkcji ciągłej w całej jej domenie punkty te istnieją, gdy nachylenie funkcji = 0 (tzn. Jej pierwsza pochodna jest równa 0). Rozważmy pewną funkcję ciągłą f (x) Nachylenie f (x) jest równe zero, gdzie f '(x) = 0 w pewnym punkcie (a, f (a)). Wtedy f (a) będzie lokalną ekstremalną wartością (maximim lub minimum) f (x) N.B. Ekstrema absolutne są podzbiorem ekstremów lokalnych. Są to punkty, w których f (a) jest skrajną wartością f (x) w całej swojej domenie. Czytaj więcej »

Pierwiastkiem jedności jest liczba zespolona, która po podniesieniu do pewnej dodatniej liczby całkowitej zwróci 1. Jest to dowolna liczba zespolona z, która spełnia następujące równanie: z ^ n = 1 gdzie n w NN, co oznacza, że n jest naturalne numer. Liczba naturalna to dowolna dodatnia liczba całkowita: (n = 1, 2, 3, ...). Czasami jest to określane jako liczba zliczająca, a oznaczeniem jest NN. Dla każdego n może istnieć wiele wartości z, które spełniają to równanie, a wartości te zawierają korzenie jedności dla tego n. Kiedy n = 1 Korzenie jedności: 1 Gdy n = 2 Korzenie jedności: -1, 1 Gdy Czytaj więcej »

Prawdopodobnie jednym z najczęstszych błędów jest zapomnienie umieszczenia nawiasów na niektórych funkcjach. Na przykład, jeśli zamierzałem wykreślić wykres y = 5 ^ (2x), jak stwierdzono w problemie, niektórzy uczniowie mogą umieścić kalkulator 5 ^ 2x. Jednak kalkulator odczytuje, że jest to 5 ^ 2x, a nie jak podano. Dlatego ważne jest, aby umieścić nawiasy i napisać 5 ^ (2x). W przypadku funkcji logistycznych jeden błąd może polegać na niepoprawnym użyciu logu naturalnego i logu, np .: y = ln (2x), czyli e ^ y = 2x; versus y = log (2x), czyli dla 10 ^ y = 2x. Konwersje wykładników na funkcje logis Czytaj więcej »

(1) f (x) = x ^ 2, (2) g (x) = sin (x) (3) h (x) = 3x + 1 Funkcja jest ciągła, intuicyjnie, jeśli można ją narysować (np. Na wykresie ) bez konieczności podnoszenia ołówka (lub pióra) z papieru. Oznacza to, że zbliżając się do dowolnego punktu x, w domenie funkcji od lewej, tj. X-epsilon, jako epsilon -> 0, daje tę samą wartość, co zbliżanie się do tego samego punktu z prawej strony, tj. X + epsilon, jako ε 0. Tak jest w przypadku każdej z wymienionych funkcji. Nie byłoby tak w przypadku funkcji d (x) zdefiniowanej przez: d (x) = 1, jeśli x> = 0, a d (x) = -1, jeśli x <0. Oznacza to, że występuje niecią Czytaj więcej »

Oto trzy znaczące przykłady ... Serie geometryczne Jeśli abs (r) <1, to suma szeregów geometrycznych a_n = r ^ n a_0 jest zbieżna: sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) Funkcja wykładnicza Szereg definiujący e ^ x jest zbieżny dla dowolnej wartości x: e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) Aby to udowodnić, dla dowolnego x, niech N będzie liczbą całkowitą większą niż abs (x). Następnie sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) Zbiega się, ponieważ jest to skończona suma, a suma (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) Zbiega się, ponieważ wartość bezwzględna stosunek kolejnych terminów jest mniejszy niż abs (x) / (N + 1) <1 Czytaj więcej »

Zachowanie końcowe najbardziej podstawowych funkcji jest następujące: Stałe Stała jest funkcją, która przyjmuje tę samą wartość dla każdego x, więc jeśli f (x) = c dla każdego x, to oczywiście również limit, gdy x zbliża się niemowlę nadal będzie c. Wielomiany Stopień nieparzysty: wielomiany o nieparzystym stopniu „respektują” nieskończoność, w stronę której zbliża się x. Tak więc, jeśli f (x) jest wielomianem nieparzystym, masz lim_ {x-infty} f (x) = - infty i lim_ {x + infty} f (x) = + infty ; Równomierny stopień: wielomiany parzystego stopnia mają tendencję do + nieważne, bez względu na to, do kt Czytaj więcej »

Przykład 1: Podniesienie do równej mocy Rozwiąż x = root (4) (5x ^ 2-4). Podniesienie obu stron do 4 ^ (th) daje x ^ 4 = 5x ^ 2-4. Wymaga to, x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0. Faktoring daje (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0. Potrzebujemy więc (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0. Zestaw rozwiązań ostatniego równania to {-1, 1, -2, 2}. Sprawdzenie ich ujawnia, że -1 i -2 nie są rozwiązaniami oryginalnego równania. Przypomnij sobie, że korzeń (4) x oznacza nieujemne 4 korzenie.) Przykład 2 Mnożenie przez zero Jeśli rozwiążesz (x + 3) / x = 5 / x przez pomnożenie krzyżowe, otrzymasz x ^ 2 + 3x = 5x które prowadzą do x ^ 2-2x = 0. Czytaj więcej »

Komponowanie funkcji polega na wprowadzeniu jednej funkcji do drugiej, aby utworzyć inną funkcję. Oto kilka przykładów. Przykład 1: Jeśli f (x) = 2x + 5 i g (x) = 4x - 1, określ f (g (x)). Oznaczałoby to wprowadzenie g (x) dla x wewnątrz f (x). f (g (x)) = 2 (4x- 1) + 5 = 8x- 2 + 5 = 8x + 3 Przykład 2: Jeśli f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x oraz g (x) = sqrt ( 3x), określ g (f (x)) i podaj domenę Umieść f (x) w g (x). g (f (x)) = sqrt (3 (3x ^ 2 + 12x + 12)) g (f (x)) = sqrt (9x ^ 2 + 36x + 36) g (f (x)) = sqrt (( 3x + 6) ^ 2) g (f (x)) = | 3x + 6 | Domena f (x) to x w RR. Domena g (x) wynosi x> 0. Zatem domena g (f (x)) Czytaj więcej »

Przykład 1: f (x) = x ^ 2 / {(x + 2) (x-3)} Pionowe asymptoty: x = -2 i x = 3 poziomy asymptot: y = 1 skos Asymptote: brak Przykład 2: g ( x) = e ^ x Asymptota pionowa: Brak Asymptota pozioma: y = 0 Asymptota skośna: Brak Przykład 3: h (x) = x + 1 / x Asymptota pionowa: x = 0 Asymptota pozioma: Brak Asymptota skośna: y = x I mam nadzieję, że to było pomocne. Czytaj więcej »

Oto kilka przykładów ... Oto przykładowa animacja długiego dzielenia x ^ 3 + x ^ 2-x-1 przez x-1 (która dokładnie się dzieli). Napisz dywidendę pod paskiem i dzielnik po lewej stronie. Każdy jest zapisywany w porządku malejącym mocy x. Jeśli brakuje jakiejkolwiek mocy x, włącz ją ze współczynnikiem 0. Na przykład, jeśli dzielisz przez x ^ 2-1, wtedy wyrazisz dzielnik jako x ^ 2 + 0x-1. Wybierz pierwszy termin ilorazu, aby doprowadzić do dopasowania wiodących warunków. W naszym przykładzie wybieramy x ^ 2, ponieważ (x-1) * x ^ 2 = x ^ 3-x ^ 2 odpowiada początkowemu terminowi x ^ 3 dywidendy. Napisz produ Czytaj więcej »

Jest to bezpośrednie mnożenie skalarne, a następnie odejmowanie macierzy. Skalarne mnożenie macierzy oznacza po prostu, że każdy element macierzy jest mnożony przez stałą. Tak więc każdy element w A zostanie pomnożony przez 2. Następnie odejmowanie macierzy (i dodawanie) jest wykonywane przez element przez odejmowanie elementu. Więc w tym przypadku 2 (-8) = -16. Następnie odejmiesz 1 w prawym górnym rogu B, dając -16 - 1 = -17. Więc a = 17 Czytaj więcej »

Niektóre typy zakresów: strzelnica, kuchenka + piekarnik, zasięg broni, (jako czasownik) do poruszania się, dom na zasięgu itp. Nie, ale poważnie, zasięg jest albo zbiorem wartości y funkcji, albo różnica między najniższą i najwyższą wartością zestawu liczb. Dla równania y = 3x-2, zakres jest wszystkimi liczbami rzeczywistymi, ponieważ pewna wartość x może być wprowadzona w celu uzyskania dowolnej liczby rzeczywistej y (y = RR). Dla równania y = sqrt (x-3), zakres to wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe 3 (y = RR> = 3). Dla równania y = (x-1) / (x ^ 2-1), zakres to wszystkie Czytaj więcej »

(2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 W trójkącie Pascala łatwo jest znaleźć każdą ekspansję dwumianową: każdy termin tego trójkąta jest wynikiem sumy dwóch terminów na Górna linia. (przykład na czerwono) 1 1. 1 kolor (niebieski) (1. 2. 1) 1. kolor (czerwony) 3. kolor (czerwony) 3. 1 1. 4. kolor (czerwony) 6. 4. 1 ... Więcej, każda linia ma informację o jednym rozszerzeniu dwumianowym: 1. linia, o mocy 0 2., o mocy 1 3., o mocy 2 ... Na przykład: (a + b ) ^ 2 użyjemy trzeciej linii na niebiesko po tym rozszerzeniu: (a + b) ^ 2 = kolor (niebieski) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + kolor (niebieski) 2 * a ^ 1 Czytaj więcej »

Nie dojeżdża ani nie zawsze jest zdefiniowany. Iloczyn dwóch macierzy kwadratowych (macierz kwadratowa jest macierzą, która ma tę samą liczbę wierszy i kolumn) AB nie zawsze jest równy BA. Wypróbuj A = ((0,1), (0,0)) i B = ((0,0), (0,1)). Aby obliczyć iloczyn dwóch prostokątnych macierzy C i D, jeśli chcesz CD, potrzebujesz C, aby mieć taką samą liczbę kolumn, jak liczba wierszy D. Jeśli chcesz, aby DC był tym samym problemem z liczbą kolumn D i liczba linii C. Czytaj więcej »

X ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x + 2)) Musimy napisać to w kategoriach każdego czynnika. x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = A / (x-1) + B / (x + 2) x ^ 2 = A (x + 2) + B (x-1) Putting w x = -2: (-2) ^ 2 = A (-2 + 2) + B (-2-1) 4 = -3B B = -4 / 3 Wprowadzenie x = 1: 1 ^ 2 = A ( 1 + 2) + B (1-1) 1 = 3A A = 1/3 x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = (1/3) / (x-1) + (- 4/3) / (x + 2) kolor (biały) (x ^ 2 / ((x-1) (x + 2))) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x +2)) Czytaj więcej »

„Patrz wyjaśnienie„ i ”to liczba z właściwością„ i ^ 2 = -1. „Więc jeśli wypełnisz„ 5i ”, otrzymasz„ (5 i) ^ 2 + 23 = 25 i ^ 2 + 23 = 25 * -1 + 23 = -2! = 6 ”Tak więc„ 5 i ”nie jest rozwiązanie." „Dodawanie i mnożenie za pomocą„ i ”przebiega podobnie jak w przypadku zwykłych liczb„ ”, wystarczy pamiętać, że„ i ^ 2 = -1. „Nieparzysta moc„ i ”nie może zostać przekształcona na liczbę rzeczywistą:„ ”(5 i) ^ 3 = 125 * i ^ 3 = 125 * i ^ 2 * i = 125 * -1 * i = -125 i. „Więc jednostka wyobrażona„ i ”pozostaje. Czytaj więcej »

Nieskończony csc x = 1 / sin x 0,5 csc x = 0,5 / sin x dowolna liczba podzielona przez 0 daje niezdefiniowany wynik, więc 0,5 powyżej 0 jest zawsze niezdefiniowane. funkcja g (x) będzie niezdefiniowana przy żadnych wartościach x, dla których sin x = 0. od 0 ^ @ do 360 ^ @, wartości x gdzie sin x = 0 wynoszą 0 ^ @, 180 ^ @ i 360 ^ @. alternatywnie, w radianach od 0 do 2pi, wartości x gdzie sin x = 0 wynoszą 0, pi i 2pi. ponieważ wykres y = sin x jest okresowy, wartości, dla których sin x = 0 powtarza się co 180 ^ @, lub pi radians. dlatego punkty, dla których 1 / sin x, a zatem 0,5 / sin x są niezdefiniowane, Czytaj więcej »

Przepisując nieco, g (x) = sec2x = 1 / {cos2x}. Gdy mianownik osiągnie wartość 0, będą asymptoty pionowe, a cos2x będzie równe zero, gdy 2x = pi / 2 + npi = {2n + 1} / 2pi dla wszystkich liczb całkowitych n, więc dzieląc przez 2, Rightarrow x = {2n + 1 } / 4pi Stąd pionowe asymptoty to x = {2n + 1} / 4pi dla wszystkich liczb całkowitych n. Mam nadzieję, że to było pomocne. Czytaj więcej »

To elipsa. Powyższe równanie można łatwo przekształcić w formę elipsy (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 jako współczynniki x ^ 2 andy ^ 2 oba są dodatnie), gdzie (h, k) jest środkiem elipsy, a oś 2a i 2b, przy czym jedna większa oś główna i druga oś mniejsza. Możemy również znaleźć wierzchołki, dodając + -a do h (zachowując taką samą rzędną) oraz + -b do k (zachowując taką samą oś odcięcia). Możemy zapisać równanie 16x ^ 2 + 25y ^ 2-18x-20y + 8 = 0 jako 16 (x ^ 2-18 / 16x) +25 (y ^ 2-20 / 25y) = - 8 lub 16 (x ^ 2-2 * 9 / 16x + (9/16) ^ 2) +25 (y ^ 2-2 * 2 / 5y + (2/5) ^ 2) = - 8 + 16 (9/16) ^ Czytaj więcej »

To jest krąg. Uzupełnij kwadraty, aby znaleźć: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-10x-2y + 10 = (x ^ 2-10x + 25) + (y ^ 2-2y + 1) -16 = (x-5) ^ 2+ (y-1) ^ 2-4 ^ 2 Dodaj 4 ^ 2 do obu końców i przetransponuj, aby uzyskać: (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 ^ 2 w postaci: (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 równanie okręgu, środka (h, k) = (5, 1) i promienia r = 4 wykres {(x ^ 2 + y ^ 2-10x -2y + 10) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) = 0 [-6,59, 13,41, -3,68, 6,32]} Czytaj więcej »

(3, 3) Wraz z punktem (5, 1) punkty te są wierzchołkami kwadratu, więc środek okręgu będzie w środku przekątnej między (1, 1) i (5, 5), czyli: ((1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2) = (3,3) Promień jest odległością między (1, 1) i (3, 3), czyli: sqrt (( 3-1) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (8) Zatem równanie okręgu można zapisać: (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8 wykres {( (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-8) ((x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0.01) ((x-1) ^ 2 + (y-1 ) ^ 2-0.01) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) ((x-1) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0.01) ((x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0.01) ((x-3) ^ 100 + (y-3) ^ 100-2 ^ 100) (xy) (sqrt (17- (x + y-6) ^ 2) / sqrt (17- (x + y-6) ^ 2)) = 0 [-5,89, Czytaj więcej »

Okrąg ma środek i C = (4,5) i promień r = 7 Aby znaleźć współrzędne środka i promień okręgu musimy przekształcić jego równanie w formę: (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 W podanym przykładzie możemy to zrobić poprzez: x ^ 2 + y ^ 2-8x-10y-8 = 0 x ^ 2-8x + 16 + y ^ 2-10y + 25-8- 16-25 = 0 (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2-49 = 0 Wreszcie: (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 49 Z tego równania otrzymujemy środek i promień. Czytaj więcej »

Co za fajne pytanie! Planujesz tapetowanie gigantycznej koszykówki? Formuła to SA = 4pir ^ 2 na wypadek, gdybyś chciał to obliczyć! Wikipedia podaje formułę, a także dodatkowe informacje. Możesz nawet użyć tej formuły do obliczenia, ile wynosi powierzchnia księżyca! Upewnij się, że postępujesz zgodnie z kolejnością operacji: najpierw ustaw kwadrat promienia, a następnie pomnóż go przez 4pi za pomocą kalkulatora z zapisaną przybliżoną wartością pi. Zaokrąglij odpowiednio, a następnie oznacz swoją odpowiedź w jednostkach kwadratowych, w zależności od tego, jakiej jednostki długości używasz dla promienia. (np. prom Czytaj więcej »

| sin (x) | <= 1, "i" arctan (x) / x> = 0 "As" | sin (x) | <= 1 "i" arctan (x) / x> = 0, "mamy" | (sin (1 / sqrt (x)) arctan (x)) / (x sqrt (ln (1 + x))) | <= | arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) | = arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) "(oba arctan (x) / x i" sqrt (...)> = 0 ")" = arctan (x) / (sqrt ( x) sqrt (x ^ -1) x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (sqrt (x) x sqrt (x ^ -1 ln (1 + x))) Czytaj więcej »

Odpowiedź brzmi: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Standardowe równanie elipsy to: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Ta elipsa jest z ogniskami (F_ (1,2)) na osi y, ponieważ a <b. Tak więc x_ (F_ (1,2)) = 0 Rzędne to: c = + - sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = + - sqrt (64-49) = + - sqrt15. Więc: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Czytaj więcej »

Wartości całkowite x wynoszą 1,3,0,4 Pozwala przepisać to w następujący sposób x / (x-2) = [(x-2) +2] / (x-2) = 1 + 2 / (x-2) ) Aby 2 / (x-2) było liczbą całkowitą, x-2 musi być jednym z dzielników 2, które są + -1 i + -2 Stąd x-2 = -1 => x = 1 x-2 = 1 => x = 3 x-2 = -2 => x = 0 x-2 = 2 => x = 4 Stąd wartości całkowite x wynoszą 1,3,0,4 Czytaj więcej »

Jeśli pytanie brzmi: „w którym punkcie funkcja przechwytuje oś y?”, Odpowiedź brzmi: w żadnych punktach. Dzieje się tak dlatego, że gdyby ten punkt istniał, jego współrzędna x musi wynosić 0, ale nie można podać tej wartości x, ponieważ 0 sprawia, że ułamek jest nonsensem (nie można podzielić na 0). Jeśli pytanie brzmi: „w których punktach funkcja przechwytuje oś X?”, Odpowiedź brzmi: we wszystkich punktach, których współrzędna y wynosi 0. Więc: (x ^ 2-49) / (7x ^ 4) = 0rArrx ^ 2 = 49rArrx = + - 7. Punkty to: (-7,0) i (7,0). Czytaj więcej »

X = 7 i x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 Zakładając, że masz na myśli złożone pierwiastki równania: x ^ 3 = 343 Możemy znaleźć jeden prawdziwy pierwiastek, biorąc trzeci korzeń obu stron: root (3) (x ^ 3) = root (3) (343) x = 7 Wiemy, że (x-7) musi być czynnikiem, ponieważ x = 7 jest korzeniem. Jeśli sprowadzimy wszystko na bok, możemy wziąć pod uwagę użycie wielomianowego długiego podziału: x ^ 3-343 = 0 (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 Wiemy, kiedy (x-7) równa się zero, ale możemy znaleźć pozostałe korzenie, rozwiązując, gdy współczynnik kwadratowy jest równy zero. Można to zrobić za pomocą wzoru kwadratowego: Czytaj więcej »

Rozwiń kwadraty, zastąp y = rsin (theta) i x = rcos (theta), a następnie rozwiń dla r. Biorąc pod uwagę: (x - 1) ^ 2 - (y + 5) ^ 2 = -24 Oto wykres powyższego równania: Konwertuj na współrzędne biegunowe. Rozwiń kwadraty: x ^ 2 -2x + 1 - (y ^ 2 + 10y + 25) = -24 Przegrupuj według mocy: x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y + 1 - 25 = -24 Połącz terminy stałe : x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y = 0 Zastąp rcos (theta) dla x i rsin (theta) dla y: (rcos (theta)) ^ 2 - (rsin (theta)) ^ 2 -2 (rcos (theta)) - 10 (rsin (theta)) = 0 Pozwala przesunąć czynniki r poza (): (cos ^ 2 (theta) - sin ^ 2 (theta)) r ^ 2 - (2cos (theta) + 10sin (theta)) Czytaj więcej »

-4, 2 i 3. P (2) = 0. Tak więc n-2 jest czynnikiem. Teraz P (n) = (n-2) (n ^ 2 + kn-12)). Porównanie współczynnika n ^ 2 = k-2 z -3, k = -1. Tak więc P (n) = (n-2) (n ^ 2-n-12) = (4-2) (n + 4) (n-3). Pozostałe dwa zera to -4 i 3. Czytaj więcej »

„Możliwe” zera całkowite to: + -1, + -2, + -4 Właściwie P (p) nie ma zer wymiernych. Biorąc pod uwagę: P (p) = p ^ 4-2p ^ 3-8p ^ 2 + 3p-4 Twierdzeniem racjonalnych korzeni, wszelkie racjonalne zera P (p) są wyrażalne w postaci p / q dla liczb całkowitych p, q z dzielnik pa stałego terminu -4 i dzielnik qa współczynnika 1 terminu wiodącego. Oznacza to, że jedynymi możliwymi zerami wymiernymi (które również są liczbami całkowitymi) są: + -1, + -2, + -4 W praktyce stwierdzamy, że żaden z nich nie jest w rzeczywistości zerami, więc P (p) nie ma zer racjonalnych . Czytaj więcej »

„Możliwe” zera całkowite to + -1, + -2, + -4 Żadne z nich nie działa, więc P (y) nie ma zer zerowych. > P (y) = y ^ 4-5y ^ 3-7y ^ 2 + 21y + 4 Według racjonalnego twierdzenia pierwiastkowego wszelkie racjonalne zera P (x) są wyrażalne w postaci p / q dla liczb całkowitych p, q z pa dzielnik terminu stałego 4 i dzielnik qa współczynnika 1 terminu wiodącego. Oznacza to, że jedynymi możliwymi zerami wymiernymi są możliwe zera całkowite: + -1, + -2, + -4 Próbując każdego z nich, znajdujemy: P (1) = 1-5-7 + 21 + 4 = 14 P (-1) = 1 + 5-7-21 + 4 = -18 P (2) = 16-40-28 + 42 + 4 = -6 P (-2) = 16 + 40-28-42 + 4 = -10 P (4 Czytaj więcej »

Możliwe liczby całkowite, które powinny być wypróbowane, to pm 1, pm 3, pm 5, pm 15. Wyobraźmy sobie, że jakąś inną liczbą całkowitą może być root. Wybieramy 2. To jest złe. Zaraz zobaczymy dlaczego. Wielomian to z ^ 4 + 5z ^ 3 + 2z ^ 2 + 7z-15. Jeśli z = 2, to wszystkie warunki są równe, ponieważ są wielokrotnościami z, ale ostatni termin musi być nawet równy zeru ... i -15 nie jest nawet równe. Tak więc z = 2 zawodzi, ponieważ podzielność nie działa. Aby uzyskać podzielność, aby poprawnie obliczyć, liczba całkowita dla z musi być czymś, co dzieli się równomiernie na stały termin, który Czytaj więcej »

Wyróżnik formuły kwadratowej mówi o naturze korzeni, jakie ma równanie. b ^ 2 4ac = 0, jedno rzeczywiste rozwiązanie b ^ 2 4ac> 0, dwa rzeczywiste rozwiązania b ^ 2 4ac <0, dwa wyimaginowane rozwiązania Jeśli dyskryminator jest kwadratem doskonałym, korzenie są racjonalne, a jeśli nie, doskonały kwadrat, korzenie są irracjonalne. Czytaj więcej »

Aby rozwiązać ten problem, możemy użyć metody p / q, gdzie p jest stałą, a q jest współczynnikiem wiodącym. Daje nam to +12 / 1, co daje nam potencjalne czynniki + -1, + -2, + -3, + -4, + -6 i + -12. Teraz musimy użyć podziału syntetycznego, aby podzielić funkcję sześcienną. Łatwiej jest zacząć od + -1, a potem od + -2 i tak dalej. Używając podziału syntetycznego, musimy mieć resztę 0, aby dywidenda była równa zero. Używając podziału syntetycznego, aby uzyskać nasze równanie do kwadratu, a następnie przez uwzględnienie kwadratów, odnajdujemy pierwiastki 2, -2 i 3. Czytaj więcej »

Patrz wyjaśnienie ... Wielomian w zmiennej x jest sumą skończonych wielu wyrazów, z których każdy przyjmuje postać a_kx ^ k dla pewnej stałej a_k i nieujemnej liczby całkowitej k. Tak więc niektóre przykłady typowych wielomianów mogą być: x ^ 2 + 3x-4 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Funkcja wielomianowa jest funkcją, której wszystkie wartości są zdefiniowane przez wielomian. Na przykład: f (x) = x ^ 2 + 3x-4 g (x) = 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Zero wielomianu f (x) jest wartością x taką, że f (x ) = 0. Na przykład x = -4 jest zerem f (x) = x ^ 2 + 3x-4. Racjonalne zero to zero, które jest również liczbą Czytaj więcej »

X = -1 + -i „sprawdź wartość” koloru (niebieskiego) „dyskryminatora” „z” a = 1, b = 2, c = 2 Delta = b ^ 2-4ac = 4-8 = -4 ” ponieważ "Delta <0" równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań "" rozwiązuj używając "koloru (niebieskiego)" wzoru kwadratowego "x = (- 2 + -sqrt (-4)) / 2 = (- 2 + -2i) / 2 rArrx = -1 + -i „są rozwiązaniami” Czytaj więcej »

Tożsamość: f (x) = x Kwadrat: f (x) = x ^ 2 Sześcian: f (x) = x ^ 3 Wzajemność: f (x) = 1 / x = x ^ (- 1) Pierwiastek kwadratowy: f ( x) = sqrt (x) = x ^ (1/2) wykładniczy: f (x) = e ^ x logarytmiczny: f (x) = ln (x) logistyczny: f (x) = 1 / (1 + e ^ (-x)) Sinus: f (x) = sin (x) Cosinus: f (x) = cos (x) Wartość bezwzględna: f (x) = abs (x) Liczba całkowita Krok: f (x) = „int” (x) Czytaj więcej »

R <1 / e jest warunkiem zbieżności sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) Odpowiem tylko na część dotyczącą konwergencji, na którą odpowiedziano w pierwszej części. Możemy użyć r ^ ln (n) = n ^ ln (r), aby przepisać sumę sum_ (n = 1) ^ lub ^ ln (n) w postaci sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Szereg po prawej jest serią dla słynnej funkcji Zeta Riemanna. Wiadomo, że ta seria zbiega się, gdy p> 1. Użycie tego wyniku bezpośrednio daje -ln (r)> 1 oznacza, że ln (r) <- 1 implikuje r <e ^ -1 = 1 / e Wynik dotyczący funkcji Riemanna Zeta jest bardzo dobrze znany, jeś Czytaj więcej »

Nierówność ma formę kwadratową. Krok 1: Wymagamy zera po jednej stronie. x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 Krok 2: Ponieważ lewa strona składa się ze stałego terminu, środkowego terminu i terminu, którego wykładnik jest dokładnie dwa razy dłuższy niż w środkowym terminie, to równanie ma postać kwadratową. „ Albo rozważamy to jako kwadrat, albo używamy Formuły Kwadratowej. W tym przypadku jesteśmy w stanie wziąć pod uwagę. Tak jak y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2), mamy teraz x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2). Traktujemy x ^ 3 tak, jakby to była prosta zmienna, y. Jeśli jest bardziej pomocny, możesz zastąpić y = Czytaj więcej »

9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 Podziel każdy termin przez 144. (9x ^ 2) / 144 + (16y ^ 2) / 144 = 144/144 Uprość (x ^ 2) / 16 + (y ^ 2) / 9 = 1 Główna oś to oś X, ponieważ największy mianownik znajduje się pod pojęciem x ^ 2. Współrzędne wierzchołków są następujące ... (+ -a, 0) (0, + - b) a ^ 2 = 16 -> a = 4 b ^ 2 = 4 -> b = 2 (+ -4, 0) (0, + - 2) Czytaj więcej »

Myślę, że coś jest nie tak z pytaniem, patrz poniżej. Rozszerzanie wyrażenia daje frac {(x + 6) ^ 2} {4} = 1 dlatego (x + 6) ^ 2 = 4 dlatego x ^ 2 + 12x + 36 = 4 zatem x ^ 2 + 12x + 32 = 0 W rzeczywistości nie jest to równanie czegoś, co można wykreślić, ponieważ wykres reprezentuje relację między wartościami x i wartościami y (lub ogólnie, relacją między niezależną zmienną a zależną). W tym przypadku mamy tylko jedną zmienną, a równanie jest równe zero. Najlepszym rozwiązaniem w tym przypadku jest rozwiązanie równania, czyli znalezienie wartości x, które spełniają równanie. W tym przypad Czytaj więcej »

Wierzchołki to (3,0), (-1,0), (1,3), (1, -3) Ogniska to (1, sqrt5) i (1, -sqrt5) Zmieńmy równanie, uzupełniając kwadraty 9x ^ 2-18x + 4y ^ 2 = 27 9 (x ^ 2-2x + 1) + 4y ^ 2 = 27 + 9 9 (x-1) ^ 2 + 4y ^ 2 = 36 Dzielenie przez 36 (x- 1) ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 (x-1) ^ 2/2 ^ 2 + y ^ 2/3 ^ 2 = 1 Jest to równanie elipsy z pionową osią główną Porównanie tego równania do (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Środek jest = (h, k) = (1,0) Wierzchołki to A = (h + a, k) = (3,0); A '= (h-a, k) = (- 1,0); B = (h.k + b) = (1,3); B '= (h, kb) = (1, -3) Aby obliczyć ogniska, potrzebujemy c = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) Czytaj więcej »

Pierwszą próbą jest próba uwzględnienia tej polinomii. Dla pozostałego twierdzenia musimy obliczyć f (h) dla wszystkich liczb całkowitych dzielących 216. Jeśli f (h) = 0 dla liczby h, to jest to zero. Dzielniki to: + -1, + - 2, ... Próbowałem kilku małych, które nie działały, a inne były zbyt duże. Więc tej polinomii nie można rozłożyć. Musimy spróbować innego sposobu! Spróbujmy zbadać tę funkcję. Domena to (-oo, + oo), granice to: lim_ (xrarr + -oo) f (x) = + - oo, a więc nie ma asymptot żadnego typu (ukośne, poziome lub pionowe). Pochodną jest: y '= 35x ^ 6-1 i zbadajmy znak: 35x ^ 6-1&g Czytaj więcej »

Ponieważ log_3 (13) = 1 / (log_13 (3)) mamy (log_3 (13)) (log_13 (x)) (log_x (y)) = (log_13 (x) / (log_13 (3))) (log_x (y)) Iloraz o wspólnej podstawie 13 wynika ze zmiany formuły podstawowej, tak że log_13 (x) / (log_13 (3)) = log_3 (x) i lewa strona są równe (log_3 (x)) (log_x (y)) Ponieważ log_3 (x) = 1 / (log_x (3)) lewa strona jest równa log_x (y) / log_x (3), która jest zmianą bazy dla log_3 (y) Teraz, gdy wiemy, że log_3 (y) = 2, przekształcamy w formę wykładniczą, tak że y = 3 ^ 2 = 9. Czytaj więcej »

Zacząłbyś od podzielenia każdego terminu przez 4, aby skończyć z ... x ^ 2 + y ^ 2 = 4 To jest równanie dla okręgu, (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, gdzie (h, k) jest środkiem okręgu, a r = promień W naszym problemie (h, k) jest (0,0) i r ^ 2 = 4 sqrt (r ^ 2) = sqrt (4) r = 2 It jest równaniem okręgu o środku w (0,0) i promieniu 2. Czytaj więcej »

Najpierw znajdź współczynniki dla terminu x ^ 2, A i y ^ 2, C. A = 2 C = 6 Charakterystyka elipsy. A * C> 0 A! = C 2 * 6> 0 Prawda 2! = 6 Prawda Jest to elipsa. Czytaj więcej »

W tym problemie będziemy polegać na wypełnieniu kwadratowej techniki, aby masować to równanie na równanie, które jest bardziej rozpoznawalne. x ^ 2-4x + 4y ^ 2 + 8y = 60 Pracujmy z pojęciem x (-4/2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 = 4, musimy dodać 4 do obu stron równania x ^ 2-4x + 4 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 x ^ 2-4x + 4 => (x-2) ^ 2 => Idealne kwadratowe tryniomalne Równanie ponownego zapisu: (x-2) ^ 2 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 Rozważmy 4 z terminów y ^ 2 i y (x-2) ^ 2 + 4 (y ^ 2 + 2y) = 60 + 4 Pracujmy z terminem y (2 / 2) ^ 2 = (1) ^ 2 = 1, Musimy dodać 1 do obu stron równania. Pamiętajmy jednak, że Czytaj więcej »

To równanie jest prawie standardowe od. Warunki muszą zostać ponownie zamówione. Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 x ^ 2 + xy + y ^ 2-x + 2y = 0 Potrzebujemy współczynników A i C, aby określić. A = 1 C = 1 A = C 1 = 1 To jest okrąg. Czytaj więcej »

Elipsa Jeśli a, b i 2h są współczynnikami warunków w x ^ 2. y ^ 2 i xy, następnie równanie drugiego stopnia reprezentuje parabolę en elipsy lub hiperbolę zgodnie z ab-h ^ 2>. = lub <0. Tutaj, ab-h ^ 2 = 225> 0. Równanie można zreorganizować jako (x + 2) ^ 2/9 + (y-1) ^ 2/25 = 1. Środek C elipsy to (-2,1). Półosie a = 5 i b = 3. Oś główna to x = -2 jest równoległa do osi y. Mimośród e = sqrt (9 ^ 2-5 ^ 2) / 5 = 2sqrt14 / 5. Dla ognisk S i S ', CS = CS' = ae = sqrt14. Foci: (-2, 1 + sqrt14) i (-2,1 -sqrt14) Czytaj więcej »

Hiperbola. Okrąg (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 Elipsy (x - h) ^ 2 / a ^ 2 + (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (x - h ) ^ 2 / b ^ 2 + (y - k) ^ 2 / a ^ 2 = 1 Parabola y - k = 4p (x - h) ^ 2 x - h = 4p (y - k) ^ 2 Hyperbola (x - h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (y - k) ^ 2 / a ^ 2 - (x - h) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Czytaj więcej »

Pionowa hiperbola, środek to (0,0) Jest to pionowa hiperbola, ponieważ 1) Istnieje minus między 2 zmiennymi 2) Obie zmienne są kwadratowe 3) Równanie równe 1 4) jeśli y jest dodatnie, x jest ujemne, pionowa hiperbola jak ten wykres {(y ^ 2) / 9 - (x ^ 2) / 16 = 1 [-10, 10, -5, 5]} Czytaj więcej »

Dla elips, a> = b (gdy a = b, mamy okrąg) a reprezentuje połowę długości głównej osi, a b reprezentuje połowę długości mniejszej osi. Oznacza to, że punkty końcowe głównej osi elipsy są jednostkami (poziomo lub pionowo) od środka (h, k), podczas gdy punkty końcowe mniejszej osi elipsy są jednostkami b (pionowo lub poziomo)) od środka. Ogniska elipsy można również uzyskać z ai b. Ogniska elipsy są jednostkami f (wzdłuż głównej osi) ze środka elipsy, gdzie f ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 Przykład 1: x ^ 2/9 + y ^ 2/25 = 1 a = 5 b = 3 (h, k) = (0, 0) Ponieważ a jest pod y, główna oś jest pionowa. Punkty końc Czytaj więcej »

Zachowanie końcowe funkcji jest zachowaniem wykresu funkcji f (x), gdy x zbliża się do nieskończoności dodatniej lub nieskończoności ujemnej. Zachowanie końcowe funkcji jest zachowaniem wykresu funkcji f (x), gdy x zbliża się do nieskończoności dodatniej lub nieskończoności ujemnej. Decyduje o tym stopień i wiodący współczynnik funkcji wielomianowej. Na przykład w przypadku y = f (x) = 1 / x, jako x -> + - oo, f (x) -> 0. graph {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Ale jeśli y = f (x) = (3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) jako x-> + -oo, y-> 3 wykresy {(3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) [-165.7, 154,3, -6, 12]} Czytaj więcej »

Funkcja liniowa modeluje linię prostą, która ma stałe nachylenie lub szybkość zmian. Istnieją różne formy równań liniowych. Forma standardowa Ax + Przez = C, gdzie A, B i C są liczbami rzeczywistymi. Forma przecięcia nachylenia y = mx + b, gdzie m jest nachyleniem, a b jest przecięciem litery Y Formą nachylenia punktu (y-y_1) = m (x-x_1) gdzie (x_1, y_1) to dowolny punkt na linii, a m to nachylenie. Czytaj więcej »

Odbicie funkcji wykładniczej na osi y = x Logarytmy są odwrotnością funkcji wykładniczej, więc dla y = a ^ x funkcja logarytmiczna byłaby y = log_ax. Tak więc funkcja dziennika informuje, do której mocy należy podnieść, aby uzyskać x. Wykres lnx: graph {ln (x) [-10, 10, -5, 5]} Wykres e ^ x: wykres {e ^ x [-10, 10, -5, 5]} Czytaj więcej »

„To nie jest możliwe” „0 musi znajdować się w zasięgu”. „Ponieważ 0 jest w zakresie, a 0 jest liczbą wymierną, nie możemy tego„ ”mieć”. „Pomyśl o tym: funkcja musi przejść przez oś X, jeśli nie, funkcja„ ”nie będzie ciągła wszędzie”. Czytaj więcej »

Vec {a} quad "i" quad vec {b} quad "będzie dokładnie ortogonalny, gdy:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad k = 10 / 3. # "Przypomnij sobie, że dla dwóch wektorów:" quad vec {a}, vec {b} quad "mamy:" quad vec {a} quad "i" quad vec {b} quad quad " są ortogonalne "quad qquad hArr quad quad vec {a} cdot vec {b} = 0." Tak: "quad <-2, 3> quad" i "quad <-5, k> quad quad "są ortogonalne" qquad quad hArr quad quad <-2, 3> cdot <-5, k> 0 0 quad qquad hArr qquad qquad qquad (-2 ) (-5) + (3) (k) Czytaj więcej »

A = b = c Ogólne terminy sekwencji AP mogą być reprezentowane przez: sf ({a, a + d, a + 2d}) Powiedziano nam, że {a, b, c}, i zauważamy, że jeśli weźmiemy wyższy termin i odejmij jego poprzedni termin, otrzymujemy wspólną różnicę; zatem c-b = b-a:. 2b = a + c ..... [A] Ogólne terminy sekwencji GP mogą być reprezentowane przez: sf ({a, ar, ar ^ 2}) Powiedziano nam, że {a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2} i zauważamy, że jeśli weźmiemy wyższy termin i podzielimy przez jego poprzedni termin, otrzymamy wspólny stosunek, a zatem: c ^ 2 / b ^ 2 = b ^ 2 / a ^ 2 => c / b = b / a (jako a, b, c gt 0):. b ^ 2 = ac ..... Czytaj więcej »

„Patrz wyjaśnienie„ z ^ 3 - 1 = 0 ”to równanie, które daje pierwiastki sześcianu„ ”jedności. Możemy więc zastosować teorię wielomianów, aby„ wnioskować, że „z_1 * z_2 * z_3 = 1” (tożsamości Newtona ). ” „Jeśli naprawdę chcesz to obliczyć i sprawdzić:” z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 „OR” z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1-sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1 Czytaj więcej »

K = 1/3 Biorąc pod uwagę f (x) = klog_2x i f ^ -1 (1) = 8 Wiemy, że jeśli f ^ -1 (x) = y to f (y) = x. Zatem w drugim równaniu oznacza to, że f (8) = 1 Mamy tam pierwsze równanie, więc zastępujemy x = 8 i f (x) = 1, aby uzyskać 1 = klog_2 (8) Jestem pewien, że wiesz co robić tutaj, aby uzyskać powyższą odpowiedź. Wskazówka: - log_xy ^ z = zlog_xy log_x (x) = 1 Czytaj więcej »

Odpowiedź brzmi = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Wiemy, że p ^ -1p = I I + p + p ^ 2 + p ^ 3 .... .p ^ n = O Pomnóż obie strony przez p ^ -1 p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ..... p ^ n) = p ^ -1 * O p ^ - 1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + ...... p ^ -1 * p ^ n = O p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ......... (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p ^ -1 + (I) + (I * p) +. ........ (I * p ^ (n-1)) = O Dlatego p ^ -1 = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Czytaj więcej »

5 Niech cztery wektory k_1, k_2, k_3 i k_4 tworzą podstawę przestrzeni wektorowej K. Ponieważ K jest podprzestrzenią V, te cztery wektory tworzą liniowo niezależny zestaw w V. Ponieważ L jest podprzestrzenią V różną od K , musi być co najmniej jeden element, powiedzmy l_1 w L, który nie jest w K, czyli nie jest kombinacją liniową k_1, k_2, k_3 i k_4. Tak więc zbiór {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} jest liniowym niezależnym zbiorem wektorów w V. Zatem wymiar V wynosi co najmniej 5! W rzeczywistości możliwe jest, aby rozpiętość {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} była całą przestrzenią wektorową V - tak, że minimalna licz Czytaj więcej »

Scalars are multiplied in. 3A= -2C= To add the vectors, simply add each component separately. 3A+(-2C)= = Czytaj więcej »

(-6,4,3) W przypadku dodawania wektorów po prostu reklamujesz odpowiednie komponenty osobno. A odejmowanie wektora jest definiowane jako A-B = A + (- B), gdzie -B może być zdefiniowane jako mnożenie skalarne każdego komponentu z -1. Więc w tym przypadku wtedy -A + B-C = (- 1-2-3,0 + 5-1,3 + 1-1) = (- 6,4,3) Czytaj więcej »

Wyznacznikiem jest M + N = 69, a MXN = 200ko Trzeba także zdefiniować sumę i iloczyn macierzy. Zakłada się jednak, że są one tak samo zdefiniowane w podręcznikach do matrycy 2xx2. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Stąd jego wyznacznikiem jest (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = [(10, -12) ), (10,8)] Stąd deeminant MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200 Czytaj więcej »

Funkcje kwadratowe mają wykresy zwane parabolami. Pierwszy wykres y = x ^ 2 ma oba „końce” wykresu skierowane w górę. Opisalibyście to jako zmierzające ku nieskończoności. Współczynnik wyprzedzenia (mnożnik na x ^ 2) jest liczbą dodatnią, która powoduje otwarcie paraboli w górę. Porównaj to zachowanie do drugiego wykresu, f (x) = -x ^ 2. Oba końce tej funkcji skierowane są w dół do ujemnej nieskończoności. Tym razem współczynnik ołowiu jest ujemny. Teraz, gdy widzisz funkcję kwadratową z dodatnim współczynnikiem ołowiu, możesz przewidzieć jej zachowanie końcowe, ponieważ oba kończą s Czytaj więcej »

-24883200 „To jest wyznacznik macierzy Vandermonde”. „Wiadomo, że wyznacznik jest wtedy iloczynem„ ”różnic liczb bazowych (lub przeniesionych do kolejnych„ ”).” „Mamy więc„ (6!) (5!) (4!) (3!) (2!) ”= 24 883 200” „Jest jednak jedna różnica w macierzy Vandermonde”, a mianowicie, że najniższe moce to zwykle po lewej stronie „” macierzy, więc kolumny są dublowane, daje to dodatkowy znak minus „” do wyniku: „” determinant = -24,883,200 ” Czytaj więcej »

Piszesz szósty rząd trójkąta Pascala i dokonujesz odpowiednich podstawień. > Trójkąt Pascala to Liczby w piątym rzędzie to 1, 5, 10, 10, 5, 1. Są to współczynniki terminów w wielomianie piątego rzędu. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Ale nasz wielomian to (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32 Czytaj więcej »

Jak wyjaśniono poniżej W statystykach, gdy porównywane są dwie zmienne, wówczas korelacja ujemna oznacza, że gdy jedna zmienna wzrasta, druga zmniejsza się lub odwrotnie. Doskonała korelacja ujemna jest reprezentowana przez wartość -1,00, natomiast 0,00 wskazuje na brak korelacji, a +1,00 wskazuje na doskonałą korelację dodatnią. Doskonała korelacja ujemna oznacza, że relacja, która wydaje się istnieć między dwiema zmiennymi, jest ujemna w 100% przypadków. Czytaj więcej »

Zanim zaczniemy interpretować naszą hiperbolę, chcemy najpierw ustawić ją w standardowej formie. Oznacza to, że chcemy, aby była w postaci y ^ 2 / a ^ 2 - x ^ 2 / b ^ 2 = 1. Aby to zrobić, zaczynamy od podzielenia obu stron przez 36, aby uzyskać 1 po lewej stronie. Kiedy już to zrobisz, powinieneś mieć: y ^ 2/4 - x ^ 2/9 = 1 Kiedy już to zrobisz, możemy zrobić kilka obserwacji: Nie ma h i k To jest ay ^ 2 / a ^ 2 hiperbola ( co oznacza, że ma pionową oś poprzeczną, teraz możemy zacząć szukać pewnych rzeczy, poprowadzę Cię przez proces wyszukiwania niektórych rzeczy, o które większość nauczycieli poprosi cię w te Czytaj więcej »

Zobacz wyjaśnienie poniżej Ogólne równanie hiperboli to (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Tutaj równanie to (x-1) ^ 2/2 ^ 2 (y + 2) ^ 2/3 ^ 2 = 1 a = 2 b = 3 c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 Centrum to C = (h, k) = (1, -2) Wierzchołki są A = (h + a, k) = (3, -2) i A '= (ha, k) = (- 1, -2) Ogniska są F = (h + c, k) = (1 + sqrt13, -2) i F '= (hc, k) = (1-sqrt13, -2) Mimośród wynosi e = c / a = sqrt13 / 2 graph {((x- 1) ^ 2 / 4- (y + 2) ^ 2 / 9-1) = 0 [-14,24, 14,25, -7,12, 7,12]} Czytaj więcej »

Sporo! Tutaj mamy standardowe równanie hiperboliczne. (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Środek jest w (h, k) Oś pół-poprzeczna jest osią pół koniugatu jest b Wierzchołki wykresu są (h + a, k) i (ha, k) Ogniska wykresu to (h + a * e, k) i (ha * e, k) Bezpośrednie rzędy wykresu to x = h + a / e i x = h - a / e Oto obraz, który ma pomóc. Czytaj więcej »

Zgodnie z twierdzeniem czynnika: Jeśli x = a spełnia wielomian P (x), tj. Jeśli x = a jest pierwiastkiem równania wielomianowego P (x) = 0, to (x-a) będzie współczynnikiem wielomianu P (x) Czytaj więcej »

Oznacza to, że jeśli funkcja ciągła (w interwale A) przyjmuje 2 wartości różnicy f (a) i f (b) (a, b w A oczywiście), to przyjmuje wszystkie wartości między f (a) i pełne wyżywienie). Aby lepiej to zapamiętać lub zrozumieć, pamiętaj, że słownictwo matematyczne używa wielu obrazów. Na przykład można doskonale wyobrazić sobie rosnącą funkcję! Tu jest tak samo, z półproduktem możesz sobie wyobrazić coś pomiędzy dwoma innymi rzeczami, jeśli wiesz o co mi chodzi. Nie wahaj się zadawać pytań, jeśli nie jest jasne! Czytaj więcej »

12,5, 15, 17,5 Sekwencja używa sekwencji, w której zwiększa się o 2,5 za każdym razem. Aby uzyskać krótką odpowiedź, w której szukasz tylko następnych trzech terminów, możesz je po prostu dodać, lub jeśli potrzebujesz znaleźć odpowiedź, która jest na przykład 135-tą w sekwencji wykorzystującej równanie: a_n = a_1 + (n- 1) d Więc byłoby: a_n = 2,5 + (135-1) 2,5, co równa się kolorowi (niebieski) (337,5 Mam nadzieję, że to pomoże! Czytaj więcej »

Co chcesz o tym wiedzieć? Pozostałe twierdzenie oznacza to, co mówi. Jeśli wielomian P (x) jest dzielony przez x-n, to resztą jest P (n). Na przykład, jeśli P (x) = 3x ^ 4-7x ^ 2 + 2x-8 jest podzielone przez x-3, reszta to P (3). Czytaj więcej »

To jest równanie liniowe. Równanie liniowe jest reprezentacją linii prostej. To szczególne równanie nosi nazwę formy przechwytywania nachylenia. M we wzorze to nachylenie. B we wzorze jest tam, gdzie linia przecina oś y, nazywaną przecięciem y. Czytaj więcej »

Wzór kwadratowy wykorzystuje współczynniki równania kwadratowego w standardowej postaci, gdy jest równe zero (y = 0). Równanie kwadratowe w postaci standardowej wygląda jak y = ax ^ 2 + bx + c. Wzór kwadratowy to x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a), gdy y = 0. Oto przykład, jak współczynniki równania kwadratowego są używane jako zmienne we wzorze kwadratowym : 0 = 2x ^ 2 + 5x + 3 Oznacza to a = 2, b = 5, a c = 3. Zatem wzór kwadratowy przyjmuje postać: x = (-5 + - sqrt (5 ^ 2 - 4 (2) (3 ))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 4 (2) (3))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 24)) / ( Czytaj więcej »

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) (ax) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) (ax) ^ rb ^ (nr) Więc chcemy rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / (1 ! (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2! (11-2)!) (2x) ^ 2 ( -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 ( 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) (- 1) = - 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 Są Czytaj więcej »

Zróbmy to po pierwsze. Próbujesz znaleźć rozwiązanie dla n! = 720 Oznacza to 1 * 2 * 3 * ... * n = 720 Możesz podzielić przez wszystkie kolejne liczby, aż w rezultacie otrzymasz 1: 720 // 1 = 720, 720 // 2 = 360,360 // 3 = 120 itd. GC (TI-83): MATH - PRB -! Wypróbuj kilka liczb. Odpowiedź: 6 Czytaj więcej »

Zobacz poniżej. Zgodnie z twierdzeniem czynnikowym, jeśli (x-4) jest współczynnikiem, to f (4) będzie = 0, zatem niech f (x) = x ^ 2-3x-4 f (4) = 4 ^ 2-3 (4) - 4 = 16-12-4 = 16-16 = 0 dlatego (x-4) jest czynnikiem. Czytaj więcej »

Zachowanie końcowe funkcji sześciennych lub dowolna funkcja o ogólnym nieparzystym stopniu idzie w przeciwnych kierunkach. Funkcje sześcienne są funkcjami o stopniu 3 (stąd sześciennym), co jest dziwne. Funkcje liniowe i funkcje o nieparzystych stopniach mają przeciwne zachowania końcowe. Format zapisu to: x -> oo, f (x) -> oo x -> -oo, f (x) -> - oo Na przykład dla zdjęcia poniżej, jak x idzie do oo, wartość y wzrasta także do nieskończoności. Jednak, gdy x zbliża się -oo, wartość y nadal spada; aby przetestować zachowanie końcowe po lewej stronie, musisz wyświetlić wykres od prawej do lewej !! graph {x ^ Czytaj więcej »

Ogólnie: dla funkcji wykładniczej, której wykładnik ma tendencję do + - oo jako x-> oo, funkcja zmierza odpowiednio do oo lub 0 jako x-> oo. Należy zauważyć, że dotyczy to podobnie dla x -> - oo Ponadto, gdy wykładnik zbliża się do + -oo, drobne zmiany w x (zazwyczaj) prowadzą do drastycznych zmian wartości funkcji. Należy zauważyć, że zachowanie zmienia się dla funkcji, w których podstawa funkcji wykładniczej, tj. A w f (x) = a ^ x, jest taka, że -1 <= a <= 1. Te z udziałem -1 <= a <0 będą zachowywać się dziwnie (ponieważ f (x) nie będzie przyjmować żadnych rzeczywistych wartości, z wy Czytaj więcej »

TLDR: Wersja długa: Jeśli wykładnik funkcji mocy jest ujemny, masz dwie możliwości: wykładnik jest równy wykładnikowi jest nieparzysty Wykładnik jest równy: f (x) = x ^ (- n) gdzie n jest parzyste. Wszystko, co ma moc ujemną, oznacza odwrotność mocy. To staje się f (x) = 1 / x ^ n. Spójrzmy teraz, co dzieje się z tą funkcją, gdy x jest ujemne (po lewej stronie osi y). Mianownik staje się dodatni, ponieważ sam mnożymy liczbę ujemną przez równy czas. Mniejszy jest (więcej po lewej), tym wyższy otrzyma mianownik. Im wyższy mianownik, tym mniejszy wynik (ponieważ dzielenie przez dużą liczbę daje niewielką l Czytaj więcej »

Istnieją dodatkowe pytania dotyczące wykresów i równań, ale aby uzyskać dobry szkic wykresu: Musisz wiedzieć, czy osie zostały obrócone. (Aby uzyskać wykres, będziesz potrzebował trygonometrii). Musisz zidentyfikować typ lub rodzaj sekcji stożkowej. Musisz podać równanie w standardowym formularzu dla jego typu. (No cóż, nie musisz tego „rysować” w taki sposób, jak y = x ^ 2-x, jeśli zdecydujesz się na szkic oparty na paraboli otwierającej się w górę z x-przecięciami 0 i 1) W zależności od typ stożka, będziesz potrzebował innych informacji w zależności od tego, jak szczegółowy chcesz Czytaj więcej »

Jeśli znane jest równanie hiperboli, to znaczy: (x-x_c) ^ 2 / a ^ 2- (y-y_c) ^ 2 / b ^ 2 = + - 1, możemy w ten sposób wykreślić hiperboli: znajdź środek C (x_c, y_c); zrobić prostokąt ze środkiem w C iz bokami 2a i 2b; narysuj linie przechodzące z przeciwległych wierzchołków prostokąta (asymptoty); jeśli znak 1 jest +, to dwie gałęzie są po lewej i prawej stronie prostokąta, a wierzchołki są pośrodku pionowych boków, jeśli znak 1 jest -, niż dwie gałęzie są w górę iw dół prostokąta a wierzchołki są pośrodku poziomych boków. Czytaj więcej »

(7 + 6i) / (10 + i) = 76/101 + 53 / 101i Możemy sprawić, że mianownik będzie rzeczywisty, mnożąc mianownik jego koniugatem złożonym, a zatem: (7 + 6i) / (10 + i) = (7 + 6i) / (10 + i) * (10-i) / (10-i) ”” = ((7 + 6i) (10-i)) / ((10 + i) (10-i)) ” "= (70-7i + 60i-6i ^ 2) / (100 -10i + 10i-i ^ 2)" "= (70 + 53i +6) / (100 +1)" "= (76 + 53i) / (101) „” = 76/101 + 53 / 101i Czytaj więcej »

Patrz niżej Krzywa kardioidalna to coś w rodzaju figury w kształcie serca (tak właśnie pojawiło się słowo „cardio”). Jest to miejsce punktu na obwodzie koła, które porusza się po innym okręgu bez poślizgu. Matematycznie jest to równanie polarne r = a (1-costheta), czasami także zapisane jako r = 2a (1-costheta), Pojawia się jak pokazano poniżej. Czytaj więcej »

Istnieje kilka definicji funkcji ciągłej, więc daję ci kilka ... Z grubsza mówiąc, funkcja ciągła to taka, której wykres można narysować bez podnoszenia pióra z papieru. Nie ma nieciągłości (skoków). Znacznie bardziej formalnie: jeśli A sube RR wtedy f (x): A-> RR jest ciągłe iff AA x w A, delta w RR, delta> 0, EE epsilon w RR, epsilon> 0: AA x_1 w (x - epsilon , x + epsilon) nn A, f (x_1) in (f (x) - delta, f (x) + delta) To raczej kęs, ale w gruncie rzeczy oznacza, że f (x) nie zmienia nagle swojej wartości.Oto kolejna definicja: Jeśli A i B są dowolnymi zestawami z definicją otwartych podzb Czytaj więcej »

Jest to ciąg liczb, które spadają w regularny, liniowy sposób. Przykładem jest 10,9,8,7, ... który spada 1 co krok lub krok = -1. Ale 1000, 950, 900, 850 ... to także jeden, ponieważ spada o 50 na każdym kroku lub krok = -50. Kroki te nazywane są „wspólną różnicą”. Reguła: Sekwencja arytmetyczna ma stałą różnicę między dwoma krokami. Może to być pozytywne lub (w twoim przypadku) negatywne. Czytaj więcej »

Funkcja nieciągła jest funkcją z co najmniej jednym punktem, w którym nie jest ciągła. To znaczy lim_ (x-> a) f (x) albo nie istnieje, albo nie jest równy f (a). Przykładem funkcji o prostej, usuwalnej, nieciągłości będzie: z (x) = {(1, jeśli x = 0), (0, jeśli x! = 0):} Przykład patologicznie nieciągłej funkcji z RR do RR będzie: r (x) = {(1, „jeśli x jest wymierne”), (0, „jeśli x jest nieracjonalne”):} To jest nieciągłe w każdym punkcie. Rozważ funkcję q (x) = {(1, „jeśli x = 0”), (1 / q, „jeśli x = p / q dla liczb całkowitych p, q w najniższych kategoriach”), (0, „jeśli x to irracjonalny ”):} Następnie q (x) Czytaj więcej »

Limit po lewej stronie oznacza granicę funkcji w miarę zbliżania się od lewej strony. Z drugiej strony, granica prawej strony oznacza granicę funkcji, gdy zbliża się ona od prawej strony. Gdy uzyskuje się limit funkcji w miarę zbliżania się do liczby, chodzi o sprawdzenie zachowania funkcji zbliżającej się do liczby. Zastępujemy wartości tak blisko, jak to możliwe, liczby, do której się zbliżamy. Najbliższą liczbą jest liczba, do której się zbliża. W związku z tym zazwyczaj zastępuje się liczbę, do której się zbliża, aby uzyskać limit. Nie możemy tego jednak zrobić, jeśli wynikowa wartość jest niezdefiniowan Czytaj więcej »

Jeśli mamy limit od dołu, to jest taki sam jak limit od lewej (bardziej negatywny). Możemy napisać to w następujący sposób: lim_ (x-> 0 ^ -) f (x) zamiast tradycyjnego lim_ (x -> 0) f (x) Oznacza to, że rozważamy tylko, co się stanie, jeśli zaczniemy od liczby niższa niż nasza wartość graniczna i podejdź do niej z tego kierunku. Jest to bardziej interesujące z funkcją Piecewise. Wyobraź sobie funkcję, która jest zdefiniowana jako y = x dla x <0 i y = x + 1 dla x> 0. Moglibyśmy sobie wyobrazić, że 0 to mały skok. Powinien wyglądać następująco: graph / (2x) + 1/2 + x [-3, 3, -2.5, 3.5] Limit jako x-> Czytaj więcej »

Podstawa logarytmu b liczby n jest liczbą x, która gdy b jest podniesiona do potęgi x, wartość wynikowa wynosi n log_b n = x <=> b ^ x = n Przykład: log_2 8 = x => 2 ^ x = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 log_5 1 = x => 5 ^ x = 1 => 5 ^ x = 5 ^ 0 => x = 0 Czytaj więcej »

Funkcja logistyczna jest formą funkcji sigmoidalnej zwykle występującą w modelowaniu wzrostu populacji (patrz poniżej). Oto wykres typowej funkcji logistycznej: wykres zaczyna się od pewnej populacji podstawowej i rośnie prawie wykładniczo, aż zacznie zbliżać się do limitu populacji narzuconego przez jego środowisko. Należy zauważyć, że modele logistyczne są również wykorzystywane w wielu innych obszarach (np. Analiza sieci neuronowej itp.), Ale aplikacja modelu wzrostu jest prawdopodobnie najłatwiejsza do wizualizacji. Czytaj więcej »

Sekwencja arytmetyczna to sekwencja (lista liczb), która ma wspólną różnicę (dodatnią lub ujemną stałą) między kolejnymi wyrażeniami. Oto kilka przykładów sekwencji arytmetycznych: 1.) 7, 14, 21, 28, ponieważ różnica wspólna wynosi 7. 2.) 48, 45, 42, 39, ponieważ ma wspólną różnicę - 3. Poniższe nie są przykładami sekwencje arytmetyczne: 1.) 2,4,8,16 nie jest, ponieważ różnica między pierwszym a drugim terminem wynosi 2, ale różnica między drugim a trzecim terminem wynosi 4, a różnica między trzecim a czwartym terminem wynosi 8. Brak wspólnych różnica więc ni Czytaj więcej »

Asymptota to wartość funkcji, do której możesz się bardzo zbliżyć, ale nigdy nie możesz dotrzeć. Przyjmijmy funkcję y = 1 / x wykres {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Zobaczysz, że im większy zrobimy x, tym bliżej y będzie 0, ale nigdy nie będzie 0 ( x-> oo) W tym przypadku nazywamy linię y = 0 (oś x) asymptotą Z drugiej strony x nie może wynosić 0 (nie można podzielić przez 0). Linia x = 0 (y- oś) to kolejna asymptota. Czytaj więcej »