Niech p będzie macierzą pojedynczą 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O oznacza macierz zerową), a następnie p ^ -1 jest?

Odpowiedź:

Odpowiedź to # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Wyjaśnienie:

Wiemy to

# p ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Pomnóż obie strony przez # p ^ -1 #

# p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

W związku z tym, # p ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # ale # p # hipoteza nie jest więc pojedyncza # p ^ -1 # więc

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

i w końcu

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Również można rozwiązać jako

# p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #