Powiedzmy, że K i L są dwiema różnymi przestrzeniami rzeczywistymi podprzestrzeni V. Jeśli podane wartości dim (K) = dim (L) = 4, to jak określić minimalne wymiary dla V?

Odpowiedź:

Wyjaśnienie:

Niech cztery wektory # k_1, k_2, k_3 # i # k_4 # stanowią podstawę przestrzeni wektorowej # K #. Od # K # jest podprzestrzenią # V #, te cztery wektory tworzą liniowo niezależny zestaw # V #. Od # L # jest podprzestrzenią # V # różny od # K #, musi być przynajmniej jeden element, powiedzmy # l_1 # w # L #, której nie ma # K #, tj. która nie jest kombinacją liniową # k_1, k_2, k_3 # i # k_4 #.

Więc zestaw # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # jest liniowym, niezależnym zbiorem wektorów # V #. Tak więc wymiarowość # V # jest co najmniej 5!

W rzeczywistości jest to możliwe dla rozpiętości # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # być całą przestrzenią wektorową # V # - aby minimalna liczba wektorów bazowych wynosiła 5.

Na przykład niech # V # być # RR ^ 5 # i pozwól # K # i # V # składa się z wektorów formularzy

# ((alfa), (beta), (gamma), (delta), (0)) # i # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Łatwo zauważyć, że wektory

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#i #((0),(0),(0),(0),(0))#

stanowią podstawę # K #. Dołącz wektor #((0),(0),(0),(0),(0))#, a otrzymasz podstawę dla całej przestrzeni wektorowej,

Powiedzmy, że mam 480 $ do ogrodzenia w prostokątnym ogrodzie. Ogrodzenie po północnej i południowej stronie ogrodu kosztuje 10 USD za stopę, a ogrodzenie po wschodniej i zachodniej stronie kosztuje 15 USD za stopę. Jak mogę znaleźć wymiary największego możliwego ogrodu?

Nazwijmy długość boków N i S x (stopy), a pozostałe dwie nazwiemy y (także w stopach). Wtedy koszt ogrodzenia będzie wynosił: 2 * x * 10 USD dla N + S i 2 * y * 15 USD za E + W Wtedy równanie całkowitego kosztu ogrodzenia wyniesie: 20x + 30y = 480 Rozdzielamy y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Powierzchnia: A = x * y, zastępując y w równaniu otrzymujemy: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Aby znaleźć maksimum, musimy odróżnić tę funkcję, a następnie ustawić pochodną na 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Które rozwiązuje dla x = 12 Zastępując we wcześniejszym równaniu y = 16-2 / 3 x

Pierwotnie wymiary prostokąta wynosiły 20 cm na 23 cm. Gdy oba wymiary zostały zmniejszone o tę samą wielkość, powierzchnia prostokąta zmniejszyła się o 120 cm². Jak znaleźć wymiary nowego prostokąta?

Nowe wymiary to: a = 17 b = 20 Obszar oryginalny: S_1 = 20xx23 = 460 cm ^ 2 Nowy obszar: S_2 = 460-120 = 340 cm ^ 2 (20-x) xx (23-x) = 340 460-20x- 23x + x ^ 2 = 340 x ^ 2-43x + 120 = 0 Rozwiązywanie równania kwadratowego: x_1 = 40 (rozładowane, ponieważ jest wyższe niż 20 i 23) x_2 = 3 Nowe wymiary to: a = 20-3 = 17 b = 23-3 = 20

Pokaż, że dla wszystkich wartości m linia prosta x (2m-3) + y (3-m) + 1-2m = 0 przechodzi przez punkt przecięcia dwóch stałych linii. Dla jakich wartości m dana linia przecina się kąty między dwiema liniami stałymi?

M = 2 im = 0 Rozwiązywanie układu równań x (2 m - 3) + y (3 - m) + 1 - 2 m = 0 x (2 n - 3) + y (3 - n) + 1 - 2 n = 0 dla x, y otrzymujemy x = 5/3, y = 4/3 Dwusieczność jest uzyskiwana dzięki (prostemu spadkowi) (2m-3) / (3-m) = 1-> m = 2 i ( 2m-3) / (3-m) = -1-> m = 0