Jak rozwiązać nierówność wielomianową i podać odpowiedź w notacji interwału podanej x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Odpowiedź:

Nierówność ma formę kwadratową.

Wyjaśnienie:

Krok 1: Wymagamy zera po jednej stronie.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Krok 2: Ponieważ lewa strona składa się ze stałego terminu, środkowego terminu i terminu, którego wykładnik jest dokładnie dwukrotnie większy niż w środkowym terminie, to równanie jest kwadratowe „w formie”. Albo rozważamy to jako kwadrat, albo używamy Formuły Kwadratowej. W tym przypadku jesteśmy w stanie wziąć pod uwagę.

Tak jak # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, teraz mamy

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Traktujemy # x ^ 3 # jakby to była prosta zmienna, y.

Jeśli jest bardziej pomocny, możesz go zastąpić #y = x ^ 3 #, następnie rozwiń dla y, a na koniec zamień z powrotem na x.

Krok 3: Ustaw każdy czynnik równy zero oddzielnie i rozwiąż równanie # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Stwierdzamy, że lewa strona jest równa zero, ponieważ te wartości będą granicami naszej nierówności.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

To są dwa prawdziwe korzenie równania.

Oddzielają rzeczywistą linię na trzy interwały:

# (- oo, -root (3) 3); (-root (3) 3, root (3) 2); i (root (3) 2, oo) #.

Krok 4: Określ znak lewej strony nierówności w każdym z powyższych przedziałów.

Używanie punktów testowych jest zwykłą metodą. Wybierz wartość z każdego przedziału i zastąp ją x po lewej stronie nierówności. Możemy wybrać -2, potem 0, a następnie 2.

Odkryjesz, że lewa strona jest

pozytywnie # (- oo, -root (3) 3) #;

negatywny na # (- root (3) 3, root (3) 2) #;

i pozytywnie # (root (3) 2, oo) #.

Krok 5: Zakończ problem.

Jesteśmy zainteresowani wiedzą, gdzie # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Wiemy teraz, gdzie lewa strona równa się 0 i wiemy, gdzie jest ona dodatnia. Zapisz te informacje w formie interwału jako:

# (- oo, -root (3) 3 uu root (3) 2, oo) #.

UWAGA: Mamy nawiasy, ponieważ dwie strony nierówności są równe w tych punktach, a oryginalny problem wymaga od nas zawierać te wartości. Miał problem #># zamiast # ge #użylibyśmy nawiasów.