Jakie są przykłady obcych rozwiązań równań?

Przykład 1: Podniesienie do równej mocy

Rozwiązać # x = root (4) (5x ^ 2-4) #.

Podnoszenie obu stron do # 4 ^ (th) # daje # x ^ 4 = 5x ^ 2-4 #.

To wymaga, # x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0 #.

Faktoring daje # (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0 #.

Więc potrzebujemy # (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0 #.

Zestawem rozwiązań ostatniego równania jest #{-1, 1, -2, 2}#. Sprawdzanie ich ujawnia to #-1# i #-2# nie są rozwiązaniami oryginalnego równania. Odwołaj to #root (4) x # oznacza nieujemny 4 korzeń.)

Przykład 2 Mnożenie przez zero

Jeśli rozwiążesz # (x + 3) / x = 5 / x # przez pomnożenie krzyżowe,

dostaniesz # x ^ 2 + 3x = 5x #

które prowadzą do # x ^ 2-2x = 0 #

Wygląda na to, że zestaw rozwiązań to #{0, 2}#.

Oba są rozwiązaniami drugiego i trzeciego równania, ale #0# nie jest rozwiązaniem oryginalnego równania.

Przykład 3: Łączenie sum logarytmów.

Rozwiązać: # logx + log (x + 2) = log15 #

Połącz dzienniki po lewej stronie, aby uzyskać #log (x (x + 2)) = log15 #

To prowadzi do #x (x + 2) = 15 # który ma 2 rozwiązania: #{3, -5}#. The #-5# nie jest rozwiązaniem oryginalnego równania, ponieważ # logx # ma domenę #x> 0 # (Interwał: # (0, oo) #)