Jakie są wartości r (z r> 0), dla których seria jest zbieżna?

Odpowiedź:

#r <1 / e # jest warunkiem zbieżności #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Wyjaśnienie:

Odpowiem tylko na część dotyczącą konwergencji, na pierwszą odpowiedź odpowiedziałem w komentarzach. Możemy użyć # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # przepisać sumę #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # w formie

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Seria po prawej jest serią dla słynnej funkcji Riemanna Zeta. Wiadomo, że ta seria zbiega się, gdy #p> 1 #. Użycie tego wyniku daje bezpośrednio

# -ln (r)> 1 oznacza, że ln (r) <- 1 oznacza r <e ^ -1 = 1 / e #

Wynik dotyczący funkcji Riemanna Zeta jest bardzo dobrze znany, jeśli chcesz ab initio odpowiedz, możesz wypróbować integralny test konwergencji.