Znajdź wartości x, dla których następująca seria jest zbieżna?

Odpowiedź:

#1<>

Wyjaśnienie:

Podczas próby określenia promienia i / lub przedziału zbieżności szeregów mocy, takich jak te, najlepiej jest użyć testu współczynnika, który mówi nam o serii # suma_n #, pozwalamy

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Jeśli #L <1 # seria jest absolutnie zbieżna (a więc zbieżna)

Jeśli #L> 1 #, seria rozbiega się.

Jeśli # L = 1, # Test Ratio jest niejednoznaczny.

W przypadku serii Power możliwe są jednak trzy przypadki

za. Szeregi mocy zbiegają się dla wszystkich liczb rzeczywistych; jego przedział zbieżności jest # (- oo, oo) #

b. Seria mocy zbiega się dla pewnej liczby # x = a; # jego promień zbieżności wynosi zero.

do. Najczęściej spotykany przypadek, w którym seria mocy się zbiega # | x-a |<> z interwałem zbieżności # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Więc jeśli # | 2x-3 | <1 #, seria zbiega się. Ale potrzebujemy tego w formie # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # powoduje konwergencję. Promień zbieżności jest # R = 1/2 #

Teraz określmy interwał:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Musimy podłączyć # x = 1, x = 2 # do oryginalnej serii, aby sprawdzić, czy mamy zbieżność lub rozbieżność w tych punktach końcowych.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # rozbieżność, summand nie ma limitu iz pewnością nie przechodzi do zera, tylko zmienia znaki.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # różni się również testem dywergencji, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Dlatego seria jest zbieżna #1<>

Możemy użyć testu proporcji, który mówi, że jeśli mamy serię

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

jest zdecydowanie zbieżny, jeśli:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

W naszym przypadku, # a_n = (2x-3) ^ n #, więc sprawdzamy limit:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) anuluj ((2x-3) ^ n)) / cancel ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Więc musimy sprawdzić kiedy # | 2x-3 | # jest mniej niż #1#:

Popełniłem błąd tutaj, ale powyższa odpowiedź ma tę samą metodę i poprawną odpowiedź, więc spójrz na to.

Funkcja f jest zdefiniowana przez f: x = 6x-x ^ 2-5 Znajdź zbiór wartości x, dla których f (x) <3 Znalazłem wartości x, które są 2 i 4 Ale nie wiem, w którym kierunku znak nierówności powinien być?

X <2 "lub" x> 4> "wymagają" f (x) <3 "wyrażenia" f (x) <0 rArr-x ^ 2 + 6x-5 <3 rArr-x ^ 2 + 6x-8 <0larrcolor (niebieski) „czynnik kwadratowy” rArr- (x ^ 2-6x + 8) <0 ”współczynniki + 8, które sumują się do - 6 to - 2 i - 4” rArr- (x-2) (x-4 ) <0 „rozwiązać” (x-2) (x-4) = 0 x-2 = 0rArrx = 2 x-4 = 0rArrx = 4 rArrx = 2, x = 4larrcolor (niebieski) „są przecięciami x” współczynnik „x ^ 2” termin „<0rArrnnn rArrx <2” lub „x> 4 x in (-oo, 2) uu (4, oo) larrcolor (niebieski)„ w notacji interwałowej ”wykres {-x ^ 2 + 6x-8 [-10, 10, -5, 5]}

Liczba możliwych wartości integralnych parametru k, dla których nierówność k ^ 2x ^ 2 <(8k -3) (x + 6) jest prawdziwa dla wszystkich wartości x spełniających x ^ 2 <x + 2 wynosi?

0 x ^ 2 <x + 2 jest prawdziwe dla x w (-1,2), teraz rozwiązuje się dla kk ^ 2 x ^ 2 - (8 k - 3) (x + 6) <0 mamy k in ((24 + 4 x - sqrt [24 ^ 2 + 192 x - 2 x ^ 2 - 3 x ^ 3]) / x ^ 2, (24 + 4 x + sqrt [24 ^ 2 + 192 x - 2 x ^ 2 - 3 x ^ 3]) / x ^ 2), ale (24 + 4 x + sqrt [24 ^ 2 + 192 x - 2 x ^ 2 - 3 x ^ 3]) / x ^ 2 jest nieograniczone, gdy x zbliża się do 0, więc odpowiedź brzmi 0 wartości całkowitych dla k spełniających dwa warunki.

Jakie są wartości r (z r> 0), dla których seria jest zbieżna?

R <1 / e jest warunkiem zbieżności sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) Odpowiem tylko na część dotyczącą konwergencji, na którą odpowiedziano w pierwszej części. Możemy użyć r ^ ln (n) = n ^ ln (r), aby przepisać sumę sum_ (n = 1) ^ lub ^ ln (n) w postaci sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Szereg po prawej jest serią dla słynnej funkcji Zeta Riemanna. Wiadomo, że ta seria zbiega się, gdy p> 1. Użycie tego wyniku bezpośrednio daje -ln (r)> 1 oznacza, że ln (r) <- 1 implikuje r <e ^ -1 = 1 / e Wynik dotyczący funkcji Riemanna Zeta jest bardzo dobrze znany, jeś