Co to jest funkcja ciągła? - Precalculus 2024

Odpowiedź:

Istnieje kilka definicji funkcji ciągłej, więc dam ci kilka …

Wyjaśnienie:

Z grubsza mówiąc, funkcja ciągła to taka, której wykres można narysować bez podnoszenia pióra z papieru. Nie ma nieciągłości (skoków).

Znacznie bardziej formalnie:

Jeśli #A sube RR # następnie #f (x): A-> RR # jest ciągłe iff

#AA x w A, delta w RR, delta> 0, EE epsilon w RR, epsilon> 0: #

#AA x_1 in (x - epsilon, x + epsilon) nn A, f (x_1) in (f (x) - delta, f (x) + delta) #

To raczej kęs, ale w gruncie rzeczy oznacza to #f (x) # nie nagle przeskakuje na wartości.

Oto kolejna definicja:

Jeśli #ZA# i #B# są to dowolne zestawy z definicją otwartych podzbiorów #f: A-> B # jest ciągły na obrazie wstępnym dowolnego otwartego podzbioru #B# jest otwartym podzbiorem #ZA#.

Tak jest, jeśli # B_1 sube B # jest otwartym podzbiorem #B# i # A_1 = {a w A: f (a) w B_1} #, następnie # A_1 # jest otwartym podzbiorem #ZA#.

Załóżmy, że X jest ciągłą zmienną losową, której funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana przez: f (x) = k (2x - x ^ 2) dla 0 <x <2; 0 dla wszystkich pozostałych x. Jaka jest wartość k, P (X> 1), E (X) i Var (X)?

K = 3/4 P (x> 1) = 1/2 E (X) = 1 V (X) = 1/5 Aby znaleźć k, używamy int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1:. k [2x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1 k (4-8 / 3) = 1 => 4 / 3k = 1 => k = 3/4 Aby obliczyć P (x> 1 ), używamy P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 [2x ^ 2 / 2-x ^ 3/3] _0 ^ 1 = 1-3 / 4 (1-1 / 3) = 1-1 / 2 = 1/2 Aby obliczyć E (X) E (X) = int_0 ^ 2xf (x ) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx = 3/4 [2x ^ 3/3-x ^ 4/4] _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3- 16/4) = 3/4 * 16/12 = 1 Aby obliczyć V (X) V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 E (X ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx

Niech f będzie funkcją, aby (poniżej). Co musi być prawdą? I. f jest ciągłe przy x = 2 II. f jest różniczkowalny przy x = 2 III. Pochodna f jest ciągła przy x = 2 (A) I (B) II (C) I i II (D) I i III (E) II i III

(C) Zauważając, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x_0, jeśli lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L podana informacja jest skuteczna, że f jest różniczkowalny w 2 i że f '(2) = 5. Teraz, patrząc na stwierdzenia: I: Prawdziwa zmienność funkcji w punkcie oznacza jej ciągłość w tym punkcie. II: Prawda Podana informacja odpowiada definicji różniczkowania przy x = 2. III: Fałsz Pochodna funkcji niekoniecznie jest ciągła, klasycznym przykładem jest g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) jeśli x! = 0), (0 jeśli x = 0):}, które jest różniczkowalny przy 0, ale którego pochodna ma nieciągłość

Jak udowodnić, że funkcja f (x) = [x ^ 2 + x] / [x] nie jest ciągła przy a = 0?

Sprawdź poniżej f nie jest ciągłe w 0, ponieważ 0 anuluj (in) D_f Domena (x ^ 2 + x) / x to RR * = RR- {0}