Załóżmy, że X jest ciągłą zmienną losową, której funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana przez: f (x) = k (2x - x ^ 2) dla 0 <x <2; 0 dla wszystkich pozostałych x. Jaka jest wartość k, P (X> 1), E (X) i Var (X)?

Odpowiedź:

# k = 3/4 #

#P (x> 1) = 1/2 #

#E (X) = 1 #

#V (X) = 1/5 #

Wyjaśnienie:

Znaleźć # k #, Używamy # int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#k (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## k = 3/4 #

Liczyć #P (x> 1) #, Używamy #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

Liczyć #DAWNY)#

#E (X) = int_0 ^ 2xf (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx #

# = 3/4 2x ^ 3/3-x ^ 4/4 _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

Liczyć #V (X) #

#V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 #

#E (X ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3-x ^ 4) dx #

# = 3/4 2x ^ 4/4-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #

Załóżmy, że zmienna losowa x najlepiej jest opisana przez jednolity rozkład prawdopodobieństwa z zakresem od 1 do 6. Jaka jest wartość a, która sprawia, że P (x <= a) = 0,14 prawda?

A = 1,7 Poniższy wykres pokazuje rozkład jednorodny dla danego zakresu, prostokąt ma powierzchnię = 1, więc (6-1) k = 1 => k = 1/5 chcemy P (X <= a) = 0,14 to jest wskazane jako szary obszar na wykresie tak: (a-1) k = 0,14 (a-1) xx1 / 5 = 0,14 a-1 = 0,14xx5 = 0,7: .a = 1,7

Niech f będzie funkcją ciągłą: a) Znajdź f (4), jeśli _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx dla wszystkich x. b) Znajdź f (4), jeśli _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx dla wszystkich x?

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Rozróżnij obie strony. Poprzez Drugie Podstawowe Twierdzenie Rachunku po lewej stronie i reguły produktu i łańcucha po prawej stronie widzimy, że różnicowanie ujawnia, że: f (x ^ 2) * 2x = grzech (pik) + piksele (piksele) ) Letting x = 2 pokazuje, że f (4) * 4 = sin (2pi) + 2 pikos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Zintegruj termin wewnętrzny. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Oceń. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) Niech x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12

Jaka jest różnica między dyskretną zmienną losową a ciągłą zmienną losową?

Dyskretna zmienna losowa ma skończoną liczbę możliwych wartości. Ciągła zmienna losowa może mieć dowolną wartość (zwykle w pewnym zakresie). Dyskretna zmienna losowa jest zwykle liczbą całkowitą, chociaż może być ułamkiem racjonalnym. Jako przykład dyskretnej zmiennej losowej: wartość uzyskana przez walcowanie standardowej 6-stronnej matrycy jest dyskretną zmienną losową mającą tylko możliwe wartości: 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Jako drugi przykład dyskretna zmienna losowa: ułamek kolejnych 100 pojazdów, które mijają moje okno, które są niebieskimi ciężarówkami, jest również dyskretną zmienną losową (posiad