Jak znaleźć rozszerzenie dwumianowe dla (2x + 3) ^ 3?

Odpowiedź:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Wyjaśnienie:

Dzięki trójkątowi Pascala łatwo jest znaleźć każde rozszerzenie dwumianowe:

Każdy termin tego trójkąta jest wynikiem sumy dwóch terminów w górnej linii. (przykład na czerwono)

#1#

#1. 1#

#color (niebieski) (1. 2. 1) #

# 1. kolor (czerwony) 3. kolor (czerwony) 3. 1 #

# 1. 4. kolor (czerwony) 6. 4. 1 #

…

Co więcej, każda linia zawiera informacje o jednym rozszerzeniu dwumianowym:

Pierwsza linia, dla mocy #0#

Druga, za moc #1#

Trzecia, za moc #2#…

Na przykład: # (a + b) ^ 2 # po tym rozszerzeniu użyjemy trzeciej linii w kolorze niebieskim:

# (a + b) ^ 2 = kolor (niebieski) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + kolor (niebieski) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + kolor (niebieski) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Następnie: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Do władzy #3#:

# (a + b) ^ 3 = kolor (zielony) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + kolor (zielony) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + kolor (zielony) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + kolor (zielony) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Następnie # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Więc tutaj mamy #color (czerwony) (a = 2x) # i #color (niebieski) (b = 3) #:

I # (2x + 3) ^ 3 = kolor (czerwony) ((2x)) ^ 3 + 3 * kolor (czerwony) ((2x)) ^ 2 * kolor (niebieski) 3 + 3 * kolor (czerwony) ((2x)) * kolor (niebieski) 3 ^ 2 + kolor (niebieski) 3 ^ 3 #

W związku z tym: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Odpowiedź:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Wyjaśnienie:

# (2x + 3) ^ 3 #

Użyj kostki metody sumy, w której # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x; # # b = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Co to jest rozszerzenie Taylora e ^ (- 2x) wyśrodkowane na x = 0?

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Przypadek taylorowej serii rozszerzonej o 0 nazywa się serią Maclaurina. Ogólny wzór dla serii Maclaurina to: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n Aby opracować serię dla naszej funkcji, możemy zacząć od funkcji dla e ^ x, a następnie użyj tego, aby znaleźć formułę dla e ^ (- 2x). Aby skonstruować szereg Maclaurina, musimy obliczyć n-tą pochodną e ^ x. Jeśli weźmiemy kilka pochodnych, możemy dość szybko zobaczyć wzór: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x W rzeczywistości n-ta pochod

Jakie jest rozszerzenie (2x-1) (2x + 1)?

4x ^ 2-1 Kiedykolwiek pomnożymy dwumian, możemy użyć bardzo przydatnego mnemonicznego FOILA, oznaczającego Pierwszych, Outsides, Insides, Lasts. To jest kolejność, w której się mnożymy.Pierwsze terminy: 2x * 2x = 4x ^ 2 Warunki zewnętrzne: 2x * 1 = 2x Terminy wewnętrzne: -1 * 2x = -2x Ostatnie terminy: -1 * 1 = -1 Mamy teraz 4x ^ 2 + anuluj (2x-2x ) -1 => kolor (czerwony) (4x ^ 2-1) Jest to jednak inny sposób. Moglibyśmy właśnie zdać sobie sprawę, że otrzymany dwumian pasuje do wzoru różnicy kwadratów (a + b) (ab), który ma rozszerzenie koloru (niebieski) (a ^ 2-b ^ 2) Gdzie, w naszym przypadku

Jak wykorzystać twierdzenie dwumianowe, aby rozwinąć (x-5) ^ 5?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) a ^ (nr) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) a ^ (nr) (bx) ^ r (-5+ x) ^ 5 = sum_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (- 5) ^ (5-r) x ^ r (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! (5-0)!) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1! (5-1)!) (- 5) ^ ( 5-1) x ^ 1 + (5!) / (2! (5-2)!) (- 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5!) / (3! (5-3) !) (- 5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5!) / (4! (5-4)!) (- 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5!) / (5! (5-5)!) (- 5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1! 4!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2! 3!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / (3! 2!)