Co to jest rozszerzenie Taylora e ^ (- 2x) wyśrodkowane na x = 0?

Odpowiedź:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Wyjaśnienie:

Rozwinęła się sprawa serii Taylor #0# nazywa się serią Maclaurin. Ogólna formuła dla serii Maclaurin to:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Aby opracować serię dla naszej funkcji, możemy zacząć od funkcji dla # e ^ x # a następnie użyj tego do określenia wzoru #e ^ (- 2x) #.

Aby skonstruować serię Maclaurina, musimy znaleźć n-tą pochodną # e ^ x #. Jeśli weźmiemy kilka pochodnych, możemy dość szybko zobaczyć wzór:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

W rzeczywistości n-ta pochodna # e ^ x # jest tylko # e ^ x #. Możemy podłączyć to do formuły Maclaurina:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Teraz, gdy mamy serię Taylor dla # e ^ x #, możemy po prostu wymienić wszystkie # x #jest z # -2x # uzyskać serię dla #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

która jest serią, której szukaliśmy.

Jakie jest rozszerzenie (2x-1) (2x + 1)?

4x ^ 2-1 Kiedykolwiek pomnożymy dwumian, możemy użyć bardzo przydatnego mnemonicznego FOILA, oznaczającego Pierwszych, Outsides, Insides, Lasts. To jest kolejność, w której się mnożymy.Pierwsze terminy: 2x * 2x = 4x ^ 2 Warunki zewnętrzne: 2x * 1 = 2x Terminy wewnętrzne: -1 * 2x = -2x Ostatnie terminy: -1 * 1 = -1 Mamy teraz 4x ^ 2 + anuluj (2x-2x ) -1 => kolor (czerwony) (4x ^ 2-1) Jest to jednak inny sposób. Moglibyśmy właśnie zdać sobie sprawę, że otrzymany dwumian pasuje do wzoru różnicy kwadratów (a + b) (ab), który ma rozszerzenie koloru (niebieski) (a ^ 2-b ^ 2) Gdzie, w naszym przypadku

Jaka jest reguła Taylora w odniesieniu do rzeczywistej stopy procentowej równowagi?

Reguła Taylora pośrednio obejmuje rzeczywistą stopę procentową równowagi, określając docelową nominalną stopę procentową. Reguła Taylora została opracowana przez ekonomistę Stanforda, Johna Taylora, aby najpierw opisać, a następnie zalecić docelową nominalną stopę procentową dla Federalnej Stopy Funduszy (lub dla każdej innej stopy docelowej wybranej przez bank centralny). Dawka docelowa = Prędkość neutralna + 0,5 × (GDPe - GDPt) + 0,5 × (Tj - It) Gdzie, stopa docelowa to krótkoterminowa stopa procentowa, którą bank centralny powinien kierować; Stopa neutralna to krótkoterminowa stopa procento

Czym jest szereg Taylora f (x) = arctan (x)?

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} Spójrzmy na niektóre szczegóły. f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Pamiętaj, że geometryczna seria mocy 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n przez zastąpienie x przez -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} So, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Przez całkowanie, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx przez umieszczenie znaku całkowania wewnątrz sumy, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx według reg