Czym jest szereg Taylora f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Spójrzmy na niektóre szczegóły.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Pamiętaj, że geometryczna seria mocy

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

zastępując # x # przez # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Więc, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Integrując

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

umieszczając znak całkowy wewnątrz sumy, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

według reguły mocy

# = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Od #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Stąd, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #