Jakie są przykłady serii zbieżnych?

Jakie są przykłady serii zbieżnych?
Anonim

Odpowiedź:

Oto trzy ważne przykłady …

Wyjaśnienie:

Seria geometryczna

Jeśli #abs (r) <1 # następnie suma serii geometrycznych #a_n = r ^ n a_0 # jest zbieżny:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Funkcja wykładnicza

Seria definiująca # e ^ x # jest zbieżny dla dowolnej wartości # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Aby to udowodnić, dla każdego # x #, pozwolić # N # być liczbą całkowitą większą niż #abs (x) #. Następnie #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # zbiega się, ponieważ jest to suma skończona i #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # zbiega się, ponieważ wartość bezwzględna stosunku kolejnych terminów jest mniejsza niż #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Problem Bazylei

Problem bazylejski, postawiony w 1644 r. I rozwiązany przez Eulera w 1734 r., Wymagał wartości sumy odwrotności kwadratów liczb całkowitych dodatnich:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #