Niech a_n będzie sekwencją podaną przez: {1, 6, 15, 28, 45,66, ..., f (n)}. Pokaż, że funkcja generująca f (n) ma postać ^ 2 + bn + c. Znajdź wzór, obliczając współczynniki a, b, c?

Odpowiedź:

#:. P_n ^ 6 = 2n ^ 2-n #

Wyjaśnienie:

Strategia:

Weź podaną sekwencję i znajdź różnicę między kolejnymi liczbami:

#P_n = {1,6,15,28,45,66, 91,120, cdots} #

Krok 1 # rArr # Warstwa 1

# {1,5,9,13,17,21, cdots} #

Krok 2 # rArr # Warstwa 2, Zrób to jeszcze raz

# {4, 4, 4, 4, 4, cdots} #

Biorąc różnicę w dyskretnej matematyce jest taka sama jak przyjmowanie pochodnej (tj. Nachylenia). wziąłem dwa odejmowania (dwie warstwy), zanim dotarliśmy do numeru comstant #4#oznacza to, że sekwencja jest wzrostem wielomianowym.

Daj, że stwierdzam, że: #P_n = an ^ 2 + bn + c #

Wszystko, co muszę teraz zrobić, to znaleźć wartość #a, b i c #

Aby rozwiązać # a, b i c # Używam pierwszego 3 wpisu ustawienia sekwencji #n = {1,2,3} #

# Eq.1 rArr ## P_1 = a + b + c = 1 #

# Eq.2 rArr ## P_2 = 4a + 2b + c = 6 #

# Eq.3 rArr ## P_3 = 9a + 3b + c = 15 #

# 1,1,1, 4,2,1, 9,3,1 xx a, b, c = 1, 6, 15 #

Rozwiązywanie a, b, c za pomocą dowolnego kalkulatora macierzowego w Internecie:

# a, b, c = 2, - 1, 0 #

#:. P_n ^ 6 = 2n ^ 2-n #

Czek: # P_1 ^ 6 = 1; P_2 ^ 6 = 6; P_3 ^ 6 = 15; # sprawdza się

PS: Możesz także użyć pythona, użyłem po prostu pythona … Jest fajnie