Jakie jest równanie standardowej formy paraboli z kierunkiem x = 5 i fokus na (11, -7)?

Odpowiedź:

Standardowy formularz to:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Wyjaśnienie:

Ponieważ reżyseria jest linią pionową, #x = 5 #, forma wierzchołka równania paraboli to:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

gdzie (h, k) jest wierzchołkiem, a #f oznacza odległość poziomą podpisaną od wierzchołka do ogniska.

Wiemy, że współrzędna y, k, wierzchołka jest taka sama jak współrzędna y fokusa:

#k = -7 #

Zamień -7 na k na równanie 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

Wiemy, że współrzędna x wierzchołka jest punktem środkowym między współrzędną x punktu skupienia a współrzędną x linii głównej:

# h = (x_ „focus” + x_ „directrix”) / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Zamień 8 na h na równanie 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

Odległość ogniskowa to podpisana odległość pozioma od wierzchołka do ostrości:

#f = x_ "focus" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Zastąp 3 dla f w równaniu 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Pomnożymy mianownik i napiszemy - jako +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Rozwiń kwadrat:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Rozdaj #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Połącz stałe terminy:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Odpowiedź:

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

Wyjaśnienie:

Kierownica # x = 5 #

Skupiać #(11, -7)#

Z tego możemy znaleźć wierzchołek.

Spójrz na diagram

Wierzchołek leży dokładnie między Directrix a Focusem

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

Odległość między ostrością a wierzchołkiem wynosi # a = 3 #

Parabola otwiera się w prawo

Równanie Paraboli tutaj jest -

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

# (h, k) # jest wierzchołkiem

# h = 8 #

# k = -7 #

Podłącz # h = 8; k = -7 i a = 3 # w równaniu

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # przez transpozycję

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #