Mamy x @ y = ax + ay-xy, x, y w RR, a a jest rzeczywistym parametrem. Wartości a, dla których [0,1] jest stabilną częścią (RR, @)?

Odpowiedź:

#a w 1/2, 1 # lub #a = 1 # Jeśli chcemy #@# do mapowania # 0, 1 xx 0, 1 # na #0, 1#.

Wyjaśnienie:

Dany:

#x @ y = ax + ay-xy #

Jeśli dobrze rozumiem pytanie, chcemy określić wartości #za# dla którego:

#x, y w 0, 1 rarr x @ y w 0, 1 #

Znaleźliśmy:

# 1 @ 1 = 2a-1 w 0, 1 #

Stąd #a w 1/2, 1 #

Zauważ, że:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # i # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Stąd maksymalne i / lub minimalne wartości #x @ y # gdy #x, y w 0, 1 # nastąpi, gdy #x, y w {0, a, 1} #

Przypuszczać #a w 1/2, 1 #

Znaleźliśmy:

# 0 @ 0 = 0 w 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 w 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a w 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 w 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 w 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 w 0, 1 #

Zatem dany warunek jest zarówno konieczny, jak i wystarczający.

Dodatkowo, jeśli chcemy #x @ y # być na #0, 1# wtedy wymagamy # a = 1 #.