Niech 5a + 12b i 12a + 5b będą długościami boku trójkąta prostokątnego, a 13a + kb będzie przeciwprostokątną, gdzie a, b i k są dodatnimi liczbami całkowitymi. Jak znaleźć najmniejszą możliwą wartość k i najmniejsze wartości a i b dla tego k?

Niech 5a + 12b i 12a + 5b będą długościami boku trójkąta prostokątnego, a 13a + kb będzie przeciwprostokątną, gdzie a, b i k są dodatnimi liczbami całkowitymi. Jak znaleźć najmniejszą możliwą wartość k i najmniejsze wartości a i b dla tego k?
Anonim

Odpowiedź:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

Wyjaśnienie:

Według twierdzenia Pitagorasa mamy:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

To jest:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (biały) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Odejmij lewą stronę z obu końców, aby znaleźć:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (biały) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Od #b> 0 # my wymagamy:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Potem od #a, b> 0 # my wymagamy # (240-26k) # i # (169-k ^ 2) # mieć przeciwne znaki.

Gdy #k w 1, 9 # obie # 240-26 tys. i # 169-k ^ 2 # są pozytywne.

Gdy #k w 10, 12 # znaleźliśmy # 240-26k <0 # i # 169-k ^ 2> 0 # jako wymagane.

Więc minimalna możliwa wartość # k # jest #10#.

Następnie:

# -20a + 69b = 0 #

Potem od #20# i #69# nie mają wspólnego czynnika większego niż #1#, minimalne wartości #za# i #b##69# i #20# odpowiednio.