Jakie próby podjęto, gdy ludzie próbowali udowodnić hipotezę Collatza?

Odpowiedź:

Kilka myśli …

Wyjaśnienie:

Wielki polski matematyk Paul Erdős powiedział o przypuszczeniach Collatza, że „matematyka może nie być gotowa na takie problemy”. Zaproponował nagrodę w wysokości 500 USD za rozwiązanie.

Wydaje się, że jest to dziś tak trudne do rozwiązania, jak wtedy, gdy to powiedział.

Możliwe jest wyrażenie problemu Collatza na kilka różnych sposobów, ale nie ma prawdziwej metody, aby go rozwiązać. Kiedy byłem na uniwersytecie prawie 40 lat temu, jedynym pomysłem wydawało się spojrzenie na to za pomocą arytmetyki 2-adycznej.

Myślałem o próbie rozwiązania tego problemu za pomocą jakiegoś podejścia teoretyczno-pomiarowego, ale prawdopodobnie najlepszym rozwiązaniem byłoby pokazanie, że zbiór liczb, które nie trafiają #1# jest miara #0#. Nie wyklucza to istnienia kontrprzykładów.

Hipoteza Collatza została sprawdzona przez komputer pod kątem liczb do około #10^20#, ale to naprawdę pokazuje, że jest to wiarygodne - nie dowodzi, że jest prawdziwe dla wszystkich liczb.

Aby zrozumieć, dlaczego procesy iteracyjne, takie jak te w przypuszczeniach Collatza, są tak trudne do rozwiązania w ogóle, może pomóc zobaczyć, jak bogate jest połączenie dodawania i mnożenia w liczbach naturalnych.

Na przykład, jeśli zdefiniujesz dowolny formalny system matematyczny ze skończoną liczbą symboli i dozwolonymi operacjami, wtedy podstawowa arytmetyka jest wystarczająca do jego skodyfikowania. Staje się więc możliwe skonstruowanie algebraicznego stwierdzenia, które interpretuje skutecznie mówiąc: „Nie mogę udowodnić tego formalnego systemu”. Takie stwierdzenie jest wtedy prawdziwe, ale nie do udowodnienia. Tak więc system formalny jest udowodniony niekompletny.

Jest to w przybliżeniu esencja dowodu drugiego twierdzenia o niekompletności Gödla.