Odpowiedź:
# „Nie ma tutaj łatwej faktoryzacji. Tylko ogólna metoda” #
# "do rozwiązania równania sześciennego może nam tutaj pomóc." #
Wyjaśnienie:
# „Możemy zastosować metodę opartą na zastąpieniu Vieta.” #
# „Dzielenie przez pierwszy współczynnik daje:” #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# „Zastępowanie„ x = y + p ”w„ x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c ”daje:„ #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "jeśli weźmiemy" 3p + a = 0 "lub" p = -a / 3 ", pierwszy współczynnik" # # ”staje się zerem, a otrzymujemy:„ #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# ”(z„ p = -2/3 ”)” #
# „Zastępowanie„ y = qz ”w„ y ^ 3 + b y + c = 0 ”, daje:„ #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# „jeśli weźmiemy„ q = sqrt (| b | / 3) ”, współczynnik z stanie się„ #
# "3 lub -3, a otrzymujemy:" #
# "(tutaj" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# „Zastępując„ z = t + 1 / t ”, daje:„ #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# „Zastępowanie„ u = t ^ 3 ”daje równanie kwadratowe:„ #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# „Korzenie równania kwadratowego są złożone.” #
# „Oznacza to, że mamy 3 prawdziwe korzenie w naszym równaniu sześciennym.” #
# „Pierwiastkiem tego równania kwadratowego jest„ #
# u = -0,93925169 + 0,34322917 i #
# "Zastępowanie zmiennych z powrotem, daje:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + ja grzech (-0,93041329)) #
# = 0,59750263 - 0,80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# „Pozostałe korzenie można znaleźć, dzieląc i rozwiązując„ # # "pozostałe równanie kwadratowe."
# "Pozostałe korzenie są prawdziwe: -3.87643981 i 0.61210551."
Odpowiedź:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
gdzie:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Wyjaśnienie:
Dany:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Zauważ, że to znacznie uelastycznia, jeśli w pytaniu pojawia się literówka.
Na przykład:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-kolor (czerwony) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + kolor (czerwony) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Jeśli sześcienny jest poprawny w danej formie, możemy znaleźć jego zera i czynniki w następujący sposób:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformacja Tschirnhaus
Aby ułatwić rozwiązywanie problemu sześciennego, upraszczamy sześcienny za pomocą podstawienia liniowego znanego jako transformacja Tschirnhausa.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
gdzie # t = (6x + 4) #
Podstawienie trygonometryczne
Od #f (x) # ma #3# prawdziwe zera, metoda Cardano i podobne będą skutkować wyrażeniami obejmującymi nieredukowalne pierwiastki sześcienne liczb zespolonych. W takich okolicznościach preferuję użycie substytucji trygonometrycznej.
Położyć:
#t = k cos theta #
gdzie #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Następnie:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (biały) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282 k cos theta + 1712 #
#color (biały) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (biały) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Więc:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Więc:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Więc:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Więc:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Który daje #3# wyraźne zera sześciennego w # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # dla #n = 0, 1, 2 #
Następnie:
#x = 1/6 (t-4) #
Tak więc trzy zera danego kubika to:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
z przybliżonymi wartościami:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
