Dlaczego ukończenie kwadratu jest przydatne? + Przykład

Odpowiedź:

Aby uprościć wyrażenia kwadratowe, aby stały się rozwiązywalne z pierwiastkami kwadratowymi.

Wyjaśnienie:

Uzupełnienie kwadratu jest przykładem transformacji Tschirnhausa - użycia podstawienia (choć niejawnie) w celu zredukowania równania wielomianowego do postaci prostszej.

Tak podane:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # z #a! = 0 #

moglibyśmy napisać:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (biały) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (biały) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (biały) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (biały) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (biały) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Stąd:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Więc:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Rozpoczynając od równania kwadratowego w postaci:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

mamy to w formie # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # z #t = (2ax + b) # i # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminując liniowy termin pozostawiając tylko kwadraty.

Dopóki jesteśmy zadowoleni z obliczania pierwiastków kwadratowych, możemy teraz rozwiązać każde równanie kwadratowe.

Uzupełnienie kwadratu jest również przydatne do uzyskania równania okręgu, elipsy lub innej sekcji stożkowej w standardowej postaci.

Na przykład:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

wypełniając kwadrat, który znajdujemy:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

pozwalając nam zidentyfikować to równanie jako równanie z centrum #(2, -3)# i promień #5#.