Niech V = R3 i W = {(x, y, z) x + y + z = 0} będą podprzestrzenią V. Które z następujących par wektorów są w tym samym układzie W w V? (i) (1,3,2) i (2,2,2). (ii) (1,1,1) i (3,3,3).

Odpowiedź:

# #

# box {i)} (1,3,2) mbox {i} (2,2,2): #

# quad qquad quad mbox {należy do tego samego cosetu} W. #

# box {ii)} (1,1,1) mbox {i} (3,3,3): #

# quad quad quad mbox {nie należy do tego samego zestawu} W. #

Wyjaśnienie:

# #

# mbox {1) Zauważ, że przez podane na} W, mbox {możemy opisać} mbox {elementy} W mbox {jako te wektory} V mbox {gdzie} mbox {suma współrzędnych wynosi}

# #

box {2) Teraz przypomnij sobie:} #

# mbox {dwa wektory należą do tego samego zestawu dowolnej podprzestrzeni} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad ifff #

# quad mbox {ich różnica należy do samej podprzestrzeni}. #

# #

# box {3) Zatem, aby określić przynależność do tego samego zbioru} W, mbox {jest konieczne i wystarczające do określenia, czy}} mbox {różnica tych wektorów należy do} W: #

# quad vec {v_1}, vec {v_2} w mbox {ten sam coset} W quad if quad vec {v_1} - vec {v_2} w W. #

# #

# mbox {Stąd, w opisie} W mbox {w (1) powyżej mamy:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {ten sam coset} W quad if quad mbox {suma współrzędnych} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

box {To kwestia tego prostego obliczenia.} #

# #

# 4) mbox {Kontynuując z dwoma podanymi parami wektorów i} mbox {wykonując obliczenia na każdej parze, znajdujemy: #

# quad box {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {i tak} #

# quad quad box {suma współrzędnych} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Stąd:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {i} (2,2,2) #

# quad quad quad quad quad mbox {należy do tego samego cosetu} W. #

# #

# quad box {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {i tak} #

# quad quad mbox {suma współrzędnych} quad (2,2,2) = 6 n 0. # #

# mbox {Stąd:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {i} (3,3,3) #

# quad quad quad mbox {nie należy do tego samego cosetu} W. #