Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 67?

Odpowiedź:

#67# jest pierwszym i nie można go wziąć pod uwagę ……

Wyjaśnienie:

………a zatem #67^(1/2)# #=# # + - sqrt67 #.

Odpowiedź:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

Wyjaśnienie:

#67# jest liczbą pierwszą, więc w szczególności nie ma współczynników kwadratowych. Zatem jego pierwiastek kwadratowy jest nieracjonalny i nie jest uproszczony.

Istnieje kilka metod, dzięki którym można znaleźć racjonalne przybliżenia.

Oto metoda oparta na babilońskiej metodzie …

Aby znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby # n #, wybierz wstępne przybliżenie # p_0 / q_0 # gdzie # p_0, q_0 # są liczbami całkowitymi.

Następnie powtarzaj następujące wzory, aby uzyskać lepsze przybliżenia:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2 p_i q_i):} #

W naszym przykładzie niech #n = 67 #, # p_0 = 8 # i # q_0 = 1 #, od #8^2 = 64# jest dość blisko #67#. Następnie:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 8 ^ 2 + 67 * 1 ^ 2 = 64 + 67 = 131), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 8 * 1 = 16):} #

# {(p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 131 ^ 2 + 67 * 16 ^ 2 = 17161 + 17152 = 34313), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 131 * 16 = 4192):} #

Jeśli się tu zatrzymamy, otrzymamy:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

co jest dokładne #6# miejsca dziesiętne.