Odpowiedź:
za)# x = 2 #
b) patrz poniżej
Wyjaśnienie:
a) Od pierwszych trzech terminów #sqrt x-1 #, 1 i #sqrt x + 1 #, środkowy termin, 1, musi być średnią geometryczną pozostałych dwóch. Stąd
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) oznacza #
# 1 = x-1 oznacza x = 2 #
b)
Wspólny stosunek jest wtedy #sqrt 2 + 1 #, a pierwszy termin to #sqrt 2-1 #.
Tak więc piąty termin jest
# (sqrt 2-1) razy (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Odpowiedź:
Patrz poniżej.
Wyjaśnienie:
Jeśli się uwzględni, # rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # są w # GP #.
Więc, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (sqrtx + 1) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# rarrx = 2 #
Pierwszy termin # (a) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
Drugi termin # (b) = 1 #
Wspólny stosunek # (r) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
The # n ^ (th) # termin sekwencji geometrycznej # (t_n) = a * r ^ (n-1) #
Więc, # t_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (2-1) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Odpowiedź:
# x = 2 i 5 ^ (th) „termin” = 7 + 5sqrt2 #.
Wyjaśnienie:
Dla każdy #3# kolejne terminy #ABC# a GP, mamy, # b ^ 2 = ac #.
Stąd w naszym przypadku # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
# tj. 1 = x-1 lub x = 2 #.
Z # x = 2 #, the # 1 ^ (st) i 2 ^ (nd) # warunki GP pod
odniesienie, # sqrtx-1 = sqrt2-1 i 1 #, odp.
Tak więc wspólny stosunek # r = (2 ^ (nd) "term)" -:(1 ^ (st) "term)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "termin = r (" 3 ^ (rd) "termin) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Dalej, # (5 ^ (th) ”termin) = r („ 4 ^ (th) termin) #, # = (sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) „term” = 7 + 5sqrt2 #.
