Jaki jest obszar największego prostokąta, który można wpisać w elipsę: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

Odpowiedź:

$A = 12$

$9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 równ. X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1$

Problem można postawić jako:

Znajdź Max $xy$ lub równoważnie Max $x ^ 2y ^ 2$ takie

$x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1$

Dokonywanie teraz $X = x ^ 2, Y = y ^ 2$ problem jest równoważny

Odnaleźć $max (X * Y)$ z zastrzeżeniem $X / 4 + Y / 9 = 1$

Lagrangianem do określania punktów stacjonarnych jest

$L (X, Y, lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1)$

Warunki stacjonarności są

$grad L (X, Y, lambda) = vec 0$

lub

${(lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):}$

Rozwiązanie dla $X, Y, lambda$ daje

${X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18}$

więc ${x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)}$

$A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12$