Jeden bilet losowany jest z worka zawierającego 30 biletów ponumerowanych od 1 do 30. Jak oceniasz prawdopodobieństwo, że jest to wielokrotność 2 lub 3?

Odpowiedź:

#2/3#

Wyjaśnienie:

Rozważ sekwencje:

Wielokrotności 2#->#2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

Wielokrotności 3# -> 3, kolor (czerwony) (6), 9, kolor (czerwony) (12), 15, kolor (czerwony) (18), 21, kolor (czerwony) (24), 27, kolor (czerwony) (30) #

Zauważ, że wielokrotności 3, które są w kolorze czerwonym, występują również w wielokrotnościach 2.

Tak więc całkowita liczba dostępnych numerów wynosi 15 + 5 = 20

Więc prawdopodobieństwo jest #20/30=2/3#

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo jest #2/3#.

Wyjaśnienie:

Używamy suma zasady prawdopodobieństwa, które określa to dla dwóch wydarzeń #ZA# i #B#,

#P (A "lub" B) = P (A) + P (B) -P (A "i" B) #

Zilustrujmy to za pomocą powyższego pytania jako przykładu.

Na to pytanie pozwoliliśmy #ZA# zdarzeniem, że bilet jest wielokrotnością 2, a my pozwalamy #B# być zdarzeniem, że jest wielokrotnością 3. Z 30 kart połowa z nich będzie wielokrotnością 2: #{2, 4, 6, …, 28, 30}.# Więc mamy:

#P (A) = 15/30 = 1/2 #

Z 30 kart 10 będzie wielokrotnością 3: #{3, 6, 9, …, 27, 30},# dając nam

#P (B) = 10/30 = 1/3 #

Jeśli dodamy te dwa prawdopodobieństwa razem, otrzymamy

#P (A) + P (B) = 15/30 + 10/30 #

#color (biały) (P (A) + P (B)) = 25 / 30color (biały) „XXXX” = 5/6 #

Możemy pokusić się o zatrzymanie się w tym miejscu, ale myli się. Czemu? Ponieważ mamy podwójnie liczony prawdopodobieństwa wybrania niektórych liczb. Kiedy ustawiamy dwa zestawy, łatwo zauważyć, które:

# {kolor (biały) (1,) 2, kolor (biały) (3,) 4, kolor (biały) (5,) 6, kolor (biały) (7,) 8, kolor (biały) (9,) 10, kolor (biały) (11,) 12, …, kolor (biały) (27,) 28, kolor (biały) (29,) 30} #

# {kolor (biały) (1, 2,) 3, kolor (biały) (4, 5,) 6, kolor (biały) (7, 8,) 9, kolor (biały) (10, 11,) 12, …, 27, kolor (biały) (28, 29,) 30} #

Dwukrotnie policzyliśmy wszystkie wielokrotności 6 - to znaczy wszystkie liczby, które są wielokrotnościami zarówno 2, jak i 3. Dlatego musimy odjąć prawdopodobieństwo „A i B” z powyższej sumy; usuwa podwójne liczenie wyników wspólnych dla #ZA# i #B#.

Co jest #P (A "i" B) #? Prawdopodobieństwo, że bilet jest wielokrotnością 2 i 3 w tym samym czasie - innymi słowy, wielokrotność 6. W 30 biletach jest 5 takich wyników możliwych, więc:

#P (A "i" B) = 5/30 = 1/6 #

Wracając do naszej oryginalnej formuły, mamy

#P (A "lub" B) = P (A) + P (B) -P (A "i" B) #

#color (biały) (P (A ”lub„ B)) = 15/30 + 10 / 30-5 / 30 #

#color (biały) (P (A ”lub„ B)) = 20 / 30color (biały) „XXXXXXXi” = 2/3 #.