Jakie są testy podzielności różnych liczb?

Istnieje wiele testów podzielności. Oto kilka z nich, w jaki sposób można je uzyskać.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #2# jeśli ostatnia cyfra jest parzysta.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #3# jeśli suma jego cyfr jest podzielna przez 3.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #4# jeśli liczba całkowita utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #5# jeśli ostatnia cyfra to 5 lub 0.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #6# jeśli jest podzielna przez 2 i przez 3.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #7# jeśli odjęcie dwukrotności ostatniej cyfry od liczby całkowitej utworzonej przez usunięcie ostatniej cyfry jest wielokrotnością 7.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #8# jeśli liczba całkowita utworzona przez ostatnie trzy cyfry jest podzielna przez 8 (można to ułatwić, zauważając, że reguła jest taka sama jak dla 4s, jeśli cyfra setek jest parzysta, i odwrotnie)

• Liczba całkowita jest podzielna przez #9# jeśli suma cyfr jest podzielna przez 9.

• Liczba całkowita jest podzielna przez #10# jeśli ostatnia cyfra jest #0#

Aby uzyskać więcej informacji, spójrz na stronę wikipedii, aby zapoznać się z zasadami podzielności.

Teraz można się zastanawiać, jak wymyślić te zasady, a przynajmniej pokazać, że rzeczywiście będą działać. Jednym ze sposobów na to jest użycie matematyki zwanej arytmetyką modularną.

W arytmetyce modułowej wybieramy liczbę całkowitą # n # jak moduł a następnie traktować każdą inną liczbę całkowitą jako będącą przystający modulo # n # do końca po podzieleniu przez # n #. Łatwym sposobem, aby o tym pomyśleć, jest dodanie lub odjęcie # n # bez zmiany wartości liczby całkowitej modulo n. To tak samo, jak na zegarze analogowym dodanie dwunastogodzinnych wyników w tym samym czasie. Dodanie godzin na zegarze to dodanie modulo #12#.

To, co sprawia, że arytmetyka modułowa jest bardzo przydatna w określaniu reguł podzielności, jest tym, dla czego każdy liczba całkowita #za# i dodatnia liczba całkowita #b#, możemy to powiedzieć #za# jest podzielny przez #b# wtedy i tylko wtedy gdy

# a- = 0 "(mod b)" # (#za# jest zgodny #0# modulo #b#).

Użyjmy tego, aby zobaczyć, dlaczego reguła podzielności jest #3# Prace. Zrobimy to za pomocą przykładu, który powinien pokazać ogólną koncepcję. W tym przykładzie zobaczymy dlaczego #53412# jest podzielny przez #3#. Pamiętaj, że dodawanie lub odejmowanie #3# nie zmieni wartości liczby całkowitej modulo #3#.

#53412# jest podzielny przez #3# wtedy i tylko wtedy gdy # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Ale także, ponieważ #10 -3 -3 -3 = 1#, mamy # 10 - = 1 "(mod 3)" #

A zatem:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (czerwony) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

A zatem #53412# jest podzielny przez #3#. Krok czerwony pokazuje, dlaczego możemy po prostu zsumować cyfry i sprawdzić, czy zamiast próbować podzielić oryginalny numer przez #3#.