Jaka jest wartość? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Odpowiedź:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Wyjaśnienie:

Szukamy:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Zarówno licznik, jak i mianownik 2 #rarr 0 # tak jak #x rarr 0 #. więc limit # L # (jeśli istnieje) ma formę nieokreśloną #0/0#iw konsekwencji możemy zastosować regułę L'Hôpital, aby uzyskać:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Teraz, używając podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

I,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

A więc:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Ponownie jest to postać nieokreślona #0/0#iw konsekwencji możemy ponownie zastosować regułę L'Hôpital, aby uzyskać:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Które możemy ocenić:

# L = (0) / (2-0) = 0 #