Jakie są otwory (jeśli występują) w tej funkcji: f (x) = frak {x ^ {2} - 14x + 49} {x ^ {2} - 10x + 21}?

Odpowiedź:

To #f (x) # ma dziurę w # x = 7 #. Ma również pionowy asymptotę na # x = 3 # i pozioma asymptota # y = 1 #.

Wyjaśnienie:

Znaleźliśmy:

#f (x) = (x ^ 2-14x + 49) / (x ^ 2-10x + 21) #

#color (biały) (f (x)) = (kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) ((x-7)))) (x-7)) / (kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) ((x-7)))) (x-3)) #

#color (biały) (f (x)) = (x-7) / (x-3) #

Zauważ, że kiedy # x = 7 #, zarówno licznik jak i mianownik oryginalnego wyrażenia racjonalnego są #0#. Od #0/0# jest niezdefiniowane, #f (7) # jest niezdefiniowane.

Z drugiej strony, zastępując # x = 7 # w uproszczonym wyrażeniu otrzymujemy:

# (kolor (niebieski) (7) -7) / (kolor (niebieski) (7) -3) = 0/4 = 0 #

Możemy wywnioskować, że osobliwość #f (x) # w # x = 7 # jest usuwalny - to znaczy otwór.

Druga wartość, przy której mianownik wynosi #f (x) # jest #0# jest # x = 3 #. Gdy # x = 3 # licznik jest # (kolor (niebieski) (3) -7) = -4! = 0 #. Otrzymujemy więc asymptotę pionową na # x = 3 #.

Inny sposób pisania # (x-7) / (x-3) # jest:

# (x-7) / (x-3) = ((x-3) -4) / (x-3) = 1-4 / (x-3) -> 1 # tak jak #x -> + - oo #

Więc #f (x) # ma poziomą asymptotę # y = 1 #.