Udowodnij, że jeśli u jest nieparzystą liczbą całkowitą, równanie x ^ 2 + x-u = 0 nie ma rozwiązania będącego liczbą całkowitą?

Odpowiedź:

Podpowiedź 1: Załóżmy, że równanie # x ^ 2 + x-u = 0 # z # u # liczba całkowita ma rozwiązanie całkowite # n #. Pokazują, że # u # jest równy.

Wyjaśnienie:

Jeśli # n # jest rozwiązaniem, jest liczba całkowita # m # takie

# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #

Gdzie #nm = u # i # m-n = 1 #

Ale drugie równanie to pociąga za sobą #m = n + 1 #

Teraz oboje # m # i # n # są liczbami całkowitymi, więc jeden z # n #, # n + 1 # jest równy i #nm = u # jest równy.

Propozycja

Jeśli # u # jest nieparzystą liczbą całkowitą, a następnie równaniem # x ^ 2 + x - u = 0 # nie ma rozwiązania, które jest liczbą całkowitą.

Dowód

Załóżmy, że istnieje rozwiązanie całkowite # m # równania:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

gdzie # u # jest nieparzystą liczbą całkowitą. Musimy zbadać dwa możliwe przypadki:

# m # to jest dziwne; lub

# m # jest równy.

Po pierwsze, rozważmy przypadek # m # jest nieparzyste, wtedy istnieje liczba całkowita # k # takie, że:

# m = 2k + 1 #

Teraz, od # m # jest korzeniem naszego równania, to musi być:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

I mamy sprzeczność # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # jest równy, ale # u # to jest dziwne.

Następnie rozważmy przypadek # m # jest równe, wtedy istnieje liczba całkowita # k # takie, że:

# m = 2k #

Podobnie, ponieważ # m # jest korzeniem naszego równania, to musi być:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

I znowu mamy sprzeczność # 2 (2k ^ 2 + k) # jest równy, ale # u # to jest dziwne.

Udowodniliśmy więc, że nie ma rozwiązania całkowitego równania # x ^ 2 + x - u = 0 # gdzie # u # jest nieparzystą liczbą całkowitą.

Stąd wniosek jest udowodniony. CO BYŁO DO OKAZANIA

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Jeśli # x ^ 2 + x-u = 0 # następnie

#x (x + 1) = u # a następnie, jeśli # x # jest liczbą całkowitą, #x (x + 1) # jest nawet sprzeczne, ponieważ # u # hipoteza jest dziwna.