Odpowiedź:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Wyjaśnienie:
Zacznij od reguły sumy dla całek i podziel ich na dwie oddzielne całki:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
Pierwsza z tych mini-całek jest rozwiązywana przy użyciu integracji przez części:
Pozwolić # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Teraz za pomocą formuły integracji według części # intudv = uv-intvdu #, mamy:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Drugim z nich jest przypadek reguły odwrotnej mocy, która stwierdza:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Więc # int3x ^ 2dx = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
W związku z tym, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (pamiętaj, aby dodać stałą integracji!)
Otrzymaliśmy wstępny warunek #f (0) = 1 #, więc:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Dokonując tej ostatniej zmiany, uzyskujemy nasze ostateczne rozwiązanie:
# intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
