Jak znaleźć maksymalną wartość y = 2x ^ 2 - 3x + 2?

Odpowiedź:

Maksymalna wartość funkcji to #25/8#.

Wyjaśnienie:

Zanim zaczniemy rozwiązywać problem, możemy powiedzieć dwie rzeczy na temat tej funkcji:

1) Tak #x -> -infty # lub #x -> infty #, #y -> -infty #. Oznacza to, że nasza funkcja będzie miała absolutne maksimum, w przeciwieństwie do maksimum lokalnego lub w ogóle żadnych maksimów.

2) Wielomian ma stopień drugi, co oznacza, że zmienia kierunek tylko raz. Zatem jedynym punktem, w którym zmienia się kierunek, musi być również nasz maksymalny. W przypadku wielomianu o wyższym stopniu może być konieczne obliczenie wielu lokalnych maksimów i określenie, który z nich jest największy.

Aby znaleźć maksimum, najpierw znajdujemy # x # wartość, przy której funkcja zmienia kierunek. to będzie punkt, w którym # dy / dx = 0 #.

# dy / dx = -4x - 3 #

# 0 = -4x - 3 #

# 3 = -4x #

#x = -3 / 4 #

Ten punkt musi być naszym lokalnym maksimum. Wartość w tym punkcie jest określana przez obliczenie wartości funkcji w tym punkcie:

#y = -2 (-3/4) ^ 2 - 3 (-3/4) + 2 #

#= -18/16 + 9/4 + 2#

#= -9/8 + 18/8 + 16/8#

#= 25/8#