Jakie są rozwiązania (z-1) ^ 3 = 8i?

Odpowiedź:

#z w {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Wyjaśnienie:

W przypadku tego problemu musimy wiedzieć, jak znaleźć # n ^ "th" # korzenie liczby zespolonej. Aby to zrobić, użyjemy tożsamości

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Z powodu tej tożsamości możemy reprezentować dowolną liczbę zespoloną jako

# a + bi = Re ^ (itheta) # gdzie #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # i #theta = arctan (b / a) #

Teraz przejdziemy przez kroki, aby znaleźć # 3 ^ "rd" # korzenie liczby zespolonej # a + bi #. Kroki do znalezienia # n ^ "th" # korzenie są podobne.

Dany # a + bi = Re ^ (itheta) # szukamy wszystkich liczb zespolonych # z # takie

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Tak jak # z # jest liczbą złożoną, istnieje # R_0 # i # theta_0 # takie

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Następnie

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Od tego mamy natychmiast # R_0 = R ^ (1/3) #. Możemy również utożsamiać wykładników #mi#, ale zauważając, że sinus i cosinus są okresowe z okresem # 2pi #, następnie z oryginalnej tożsamości, # e ^ (itheta) # będzie równie dobrze. Następnie mamy

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # gdzie #k w ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # gdzie #k w ZZ #

Jednak tak, jakbyśmy ciągle dodawali # 2pi # W kółko będziemy mieli te same wartości, możemy zignorować zbędne wartości, dodając ograniczenie # theta_0 w 0, 2pi) #, to jest, #k w {0, 1, 2} #

Łącząc wszystko, otrzymujemy zestaw rozwiązań

#z w {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Możemy przekonwertować to z powrotem na # a + bi # formularz w razie potrzeby, używając tożsamości

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Zastosowanie powyższego do problemu:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Korzystając z powyższego procesu, możemy znaleźć # 3 ^ "rd" # korzenie #ja#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) w {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Zastosowanie # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # mamy

# i ^ (1/3) w {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

W końcu zastępujemy te wartości przez #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z w {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #