Jaka jest wartość sqrt (6 + sqrt (20))?

Odpowiedź:

#sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #

Wyjaśnienie:

Oto jeden ze sposobów rozwiązania tego problemu.

Zakładać, że #sqrt (6 + sqrt (20)) = a + sqrt (b) # gdzie #za# i #b# są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Następnie, wyrównując obie strony, # 6 + sqrt (20) = a ^ 2 + 2asqrt (b) + b #. Porównując współczynniki przez racjonalność terminów, znajdujemy

# {(a ^ 2 + b = 6), (2asqrt (b) = sqrt (20) = 2sqrt (5)):} #

Z drugiego równania mamy # a ^ 2b = 5 #. Pomnóż obie strony pierwszego równania przez #b# zdobyć # a ^ 2b + b ^ 2 = 6b #lub # b ^ 2-6b + 5 = (b-5) (b-1) = 0 #.

Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są # b = 1 # lub #5#, ale kiedy # b = 1 #, # a = sqrt (5) #.

Tak więc jedyne rozwiązanie dla liczb całkowitych #za# i #b# jest # a = 1, b = 5 #.

Więc mamy #sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #.