Czym jest pierwotna wartość 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Odpowiedź:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Wyjaśnienie:

Mamy więc całkę:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

A forma kwadratowej odwrotności wydaje się sugerować, że tutaj mogłaby działać substytucja trygonometryczna. Więc najpierw wypełnij kwadrat, aby uzyskać:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Następnie zastosuj podstawienie #u = x-1 # aby usunąć liniowy:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Możemy więc bezpiecznie zmieniać zmienne bez niepożądanych efektów ubocznych:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 + 1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Jest to idealna forma wykonywania substytucji trygonometrycznej; # u ^ 2 + 1 # sugeruje tożsamość pitagorejską # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, więc stosujemy substytucję #u = tantheta # aby uprościć mianownik:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Tak więc całka staje się:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Teraz używamy wzoru podwójnego kąta dla #sałata# aby uczynić to rozwiązanie bardziej łatwym w zarządzaniu:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Następnie umieść to w całości:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (i ponownie otwierając to za pomocą wzoru podwójnego kąta dla #grzech#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Teraz, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Wreszcie, do punktu:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #