Jaki jest pierwiastek kwadratowy z sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Odpowiedź:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

dostarczył co najmniej dwie z następujących pozycji:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Zauważ, że:

# (x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) (x ^ 2))) - kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) (x ^ 2))) + kolor (fioletowy) (anuluj (kolor (czarny)) (y ^ 2))) - kolor (fioletowy) (anuluj (kolor (czarny) (y ^ 2))) + kolor (fioletowy) (anuluj (kolor (czarny) (z ^ 2))) - kolor (fioletowy)) (anuluj (kolor (czarny) (z ^ 2))) = 0 #

Zobaczmy więc, co się stanie, gdy się skrócimy:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

ponieważ kwadraty zostaną anulowane …

# (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = kolor (czerwony) (anuluj (kolor (czarny) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Tak więc pierwiastek kwadratowy, którego chcemy, to:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#kolor biały)()#

Uwagi

Powyższa odpowiedź mniej więcej zakłada, że:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Podczas gdy to ma miejsce, jeśli przynajmniej jeden z #a, b # jest nieujemna, nie powiedzie się, jeśli obie są negatywne.

Może się tak zdarzyć w powyższym wyprowadzeniu, jeśli na przykład:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Następnie znajdujemy:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… przeciwny znak od tego, czego potrzebujemy.