W klasie jest 7 dzieci. Na ile sposobów można je ustawić w jednej linii?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Ten szczególny problem to permutacja. Przypomnijmy, że różnica między permutacjami i kombinacjami polega na tym, że przy permutacjach porządek ma znaczenie. Biorąc pod uwagę, że pytanie dotyczy tego, w jaki sposób studenci mogą ustawiać się w kolejce do przerwania (tj. Ile różnych rozkazów), jest to permutacja.

Wyobraź sobie na chwilę, że wypełniamy tylko dwie pozycje, pozycję 1 i pozycję 2. Aby rozróżnić naszych uczniów, ponieważ liczy się porządek, przypiszemy każdą literę od A do G. Teraz, jeśli wypełniamy te pozycje, jeden na raz mamy siedem opcji wypełnienia pierwszej pozycji: A, B, C, D, E, F i G. Jednak po wypełnieniu tej pozycji mamy tylko sześć opcji na drugą, ponieważ jedna z uczniowie już zostali umieszczeni.

Na przykład załóżmy, że A znajduje się na pozycji 1. Zatem naszymi możliwymi rozkazami dla naszych dwóch pozycji są AB (tj. A w pozycji 1 i B w pozycji 2), AC, AD, AE, AF, AG. Jednak … to nie uwzględnia wszystkich możliwych zamówień tutaj, ponieważ istnieje 7 opcji dla pierwszej pozycji. Gdyby więc B znajdowało się w pozycji 1, mielibyśmy możliwości BA, BC, BD, BE, BF i BG. W ten sposób pomnożymy naszą liczbę opcji razem: #7*6 = 42#

Patrząc wstecz na początkowy problem, jest 7 uczniów, którzy mogą zostać umieszczeni na pozycji 1 (ponownie, zakładając, że zajmujemy kolejno pozycje od 1 do 7). Gdy pozycja 1 zostanie wypełniona, 6 uczniów może zostać umieszczonych w pozycji 2. Gdy pozycje 1 i 2 są wypełnione, 5 można umieścić w pozycji 3 itd., Aż do momentu, gdy tylko jeden uczeń może zostać umieszczony na ostatniej pozycji. Tak więc, mnożąc naszą liczbę opcji razem, otrzymujemy #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Bardziej ogólna formuła, aby znaleźć liczbę permutacji # n # obiekty pobrane # r # na czas, bez zamiany (tj. student na pozycji 1 nie wraca do obszaru oczekiwania i nie staje się opcją dla pozycji 2), używamy wzoru:

Liczba permutacji = # "n!" / "(n-r)!".

z # n # liczba obiektów, # r # liczba pozycji do wypełnienia i #!# symbol Factorial, operacja działająca na nieujemną liczbę całkowitą #za# takie #za!# = # razy (a-1) razy (a-2) razy (a-3) razy … razy (1) #

Tak więc, używając naszej formuły z oryginalnym problemem, w którym mamy 7 uczniów zrobionych 7 na raz (np. Chcemy wypełnić 7 pozycji), mamy

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

To może wydawać się sprzeczne z intuicją #0! = 1#; jednak tak rzeczywiście jest.