Jakie jest rozwiązanie równania różniczkowego dy / dx + y = x?

Odpowiedź:

#y = A e ^ -x + x - 1 #

# „Jest to liniowy diff. Pierwszego rzędu. Istnieje ogólna technika” #

# "do rozwiązania tego rodzaju równania. Sytuacja tutaj jest prostsza" #

#"chociaż."#

# „Najpierw przeszukaj rozwiązanie jednorodnego równania (=„ #

# "to samo równanie z prawą stroną równą zero:" #

# {dy} / {dx} + y = 0 #

# „Jest to liniowy diff. Pierwszego rzędu o stałych współczynnikach.” #

# „Możemy rozwiązać te z podstawieniem” y = A e ^ (rx): #

#r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 #

# => r + 1 = 0 ”(po podzieleniu przez„ A e ^ (rx) ”)” #

# => r = -1 #

# => y = A e ^ -x #

# „Następnie szukamy konkretnego rozwiązania całego równania.” #

# „Tutaj mamy łatwą sytuację, ponieważ mamy łatwy wielomian” #

# ”po prawej stronie równania.” #

# "Próbujemy wielomianu tego samego stopnia (stopień 1) jako rozwiązanie:" #

#y = x + b #

# => 1 + x + b = x #

# => b = -1 #

# => y = x - 1 "to szczególne rozwiązanie."

# „Całe rozwiązanie jest sumą konkretnego rozwiązania, które my” #

# "znalazły i rozwiązanie jednorodnego równania:" #

# => y = A e ^ -x + x - 1 #

# y = Ce ^ (- x) + x-1 #

# dy / dx + y = x #

# y '+ y = x #

# (y '+ y) * e ^ x = xe ^ x #

# (ye ^ x) '= xe ^ x #

# ye ^ x = int xe ^ x * dx #

# ye ^ x = xe ^ x-int e ^ x * dx #

# ye ^ x = (x-1) * e ^ x + C #

# y = Ce ^ (- x) + x-1 #